Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28790 / 43750
↖ ↑ ↗
← S 51.529252°
W 21.851806°		 ← 379.98 m → S 51.529252°
W 21.846314°		 →
↑
379.97 m
↓
↑
379.97 m
↓
S 51.532669°
W 21.851806°		 ← 379.95 m →
144 374 m²		 S 51.532669°
W 21.846314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439308166503906 y=0.667579650878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439308166503906 × 216)
    floor (0.439308166503906 × 65536)
    floor (28790.5)     		tx = 28790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667579650878906 × 216)
    floor (0.667579650878906 × 65536)
    floor (43750.5)     		ty = 43750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28790 / 43750 ti = "16/28790/43750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28790/43750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28790 ÷ 216
    28790 ÷ 65536     		x = 0.439300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43750 ÷ 216
    43750 ÷ 65536     		y = 0.667572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439300537109375 × 2 - 1) × π
    -0.12139892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38138597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667572021484375 × 2 - 1) × π
    -0.33514404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.05288606325491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38138597} λ = -0.38138597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05288606325491))-π/2
    2×atan(0.34892926260986)-π/2
    2×0.335720614788902-π/2
    0.671441229577805-1.57079632675     		φ = -0.89935510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38138597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.851806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89935510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.529252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28790 KachelY 43750 -0.38138597 -0.89935510 -21.851806 -51.529252
    Oben rechts KachelX + 1 28791 KachelY 43750 -0.38129010 -0.89935510 -21.846314 -51.529252
    Unten links KachelX 28790 KachelY + 1 43751 -0.38138597 -0.89941474 -21.851806 -51.532669
    Unten rechts KachelX + 1 28791 KachelY + 1 43751 -0.38129010 -0.89941474 -21.846314 -51.532669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89935510--0.89941474) × R
    5.96400000000274e-05 × 6371000     		dl = 379.966440000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89935510--0.89941474) × R
    5.96400000000274e-05 × 6371000     		dr = 379.966440000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38138597--0.38129010) × cos(-0.89935510) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622115006497119 × 6371000     		do = 379.980237501902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38138597--0.38129010) × cos(-0.89941474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.62206831169182 × 6371000     		du = 379.951716885904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89935510)-sin(-0.89941474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622115006497119-0.62206831169182)×R²
    abs(-0.38129010--0.38138597)×4.66948052982863e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66948052982863e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66948052982863e-05×40589641000000     		ar = 144374.319718503m²