Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28789 / 22102
↖ ↑ ↗
← N 50.436516°
W 21.857300°		 ← 389.07 m → N 50.436516°
W 21.851806°		 →
↑
389.08 m
↓
↑
389.08 m
↓
N 50.433017°
W 21.857300°		 ← 389.10 m →
151 384 m²		 N 50.433017°
W 21.851806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439292907714844 y=0.337257385253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439292907714844 × 216)
    floor (0.439292907714844 × 65536)
    floor (28789.5)     		tx = 28789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337257385253906 × 216)
    floor (0.337257385253906 × 65536)
    floor (22102.5)     		ty = 22102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28789 / 22102 ti = "16/28789/22102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28789/22102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28789 ÷ 216
    28789 ÷ 65536     		x = 0.439285278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22102 ÷ 216
    22102 ÷ 65536     		y = 0.337249755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439285278320312 × 2 - 1) × π
    -0.121429443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38148185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337249755859375 × 2 - 1) × π
    0.32550048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02258994269504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38148185} λ = -0.38148185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02258994269504))-π/2
    2×atan(2.78038648854236)-π/2
    2×1.22553979725377-π/2
    2.45107959450755-1.57079632675     		φ = 0.88028327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38148185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.857300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88028327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.436516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28789 KachelY 22102 -0.38148185 0.88028327 -21.857300 50.436516
    Oben rechts KachelX + 1 28790 KachelY 22102 -0.38138597 0.88028327 -21.851806 50.436516
    Unten links KachelX 28789 KachelY + 1 22103 -0.38148185 0.88022220 -21.857300 50.433017
    Unten rechts KachelX + 1 28790 KachelY + 1 22103 -0.38138597 0.88022220 -21.851806 50.433017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88028327-0.88022220) × R
    6.10699999999964e-05 × 6371000     		dl = 389.076969999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88028327-0.88022220) × R
    6.10699999999964e-05 × 6371000     		dr = 389.076969999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38148185--0.38138597) × cos(0.88028327) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.636932791436168 × 6371000     		do = 389.071338309284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38148185--0.38138597) × cos(0.88022220) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.636979870292117 × 6371000     		du = 389.100096498118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88028327)-sin(0.88022220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636932791436168-0.636979870292117)×R²
    abs(-0.38138597--0.38148185)×4.70788559499002e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70788559499002e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70788559499002e-05×40589641000000     		ar = 151384.29204498m²