Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28787 / 42387
↖ ↑ ↗
← S 46.630579°
W 21.868286°		 ← 419.43 m → S 46.630579°
W 21.862793°		 →
↑
419.40 m
↓
↑
419.40 m
↓
S 46.634350°
W 21.868286°		 ← 419.40 m →
175 903 m²		 S 46.634350°
W 21.862793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439262390136719 y=0.646781921386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439262390136719 × 216)
    floor (0.439262390136719 × 65536)
    floor (28787.5)     		tx = 28787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646781921386719 × 216)
    floor (0.646781921386719 × 65536)
    floor (42387.5)     		ty = 42387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28787 / 42387 ti = "16/28787/42387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28787/42387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28787 ÷ 216
    28787 ÷ 65536     		x = 0.439254760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42387 ÷ 216
    42387 ÷ 65536     		y = 0.646774291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439254760742188 × 2 - 1) × π
    -0.121490478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38167359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646774291992188 × 2 - 1) × π
    -0.293548583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.92221007489064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38167359} λ = -0.38167359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.92221007489064))-π/2
    2×atan(0.397639256711151)-π/2
    2×0.378469598363172-π/2
    0.756939196726344-1.57079632675     		φ = -0.81385713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38167359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.868286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81385713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.630579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28787 KachelY 42387 -0.38167359 -0.81385713 -21.868286 -46.630579
    Oben rechts KachelX + 1 28788 KachelY 42387 -0.38157772 -0.81385713 -21.862793 -46.630579
    Unten links KachelX 28787 KachelY + 1 42388 -0.38167359 -0.81392296 -21.868286 -46.634350
    Unten rechts KachelX + 1 28788 KachelY + 1 42388 -0.38157772 -0.81392296 -21.862793 -46.634350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81385713--0.81392296) × R
    6.58299999999334e-05 × 6371000     		dl = 419.402929999576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81385713--0.81392296) × R
    6.58299999999334e-05 × 6371000     		dr = 419.402929999576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38167359--0.38157772) × cos(-0.81385713) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.686699641106473 × 6371000     		do = 419.427742451214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38167359--0.38157772) × cos(-0.81392296) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.686651785075089 × 6371000     		du = 419.398512572524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81385713)-sin(-0.81392296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686699641106473-0.686651785075089)×R²
    abs(-0.38157772--0.38167359)×4.78560313837972e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78560313837972e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78560313837972e-05×40589641000000     		ar = 175903.094622407m²