Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28787 / 42341
↖ ↑ ↗
← S 46.456782°
W 21.868286°		 ← 420.77 m → S 46.456782°
W 21.862793°		 →
↑
420.74 m
↓
↑
420.74 m
↓
S 46.460565°
W 21.868286°		 ← 420.74 m →
177 030 m²		 S 46.460565°
W 21.862793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439262390136719 y=0.646080017089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439262390136719 × 216)
    floor (0.439262390136719 × 65536)
    floor (28787.5)     		tx = 28787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646080017089844 × 216)
    floor (0.646080017089844 × 65536)
    floor (42341.5)     		ty = 42341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28787 / 42341 ti = "16/28787/42341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28787/42341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28787 ÷ 216
    28787 ÷ 65536     		x = 0.439254760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42341 ÷ 216
    42341 ÷ 65536     		y = 0.646072387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439254760742188 × 2 - 1) × π
    -0.121490478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38167359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646072387695312 × 2 - 1) × π
    -0.292144775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.917799880125595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38167359} λ = -0.38167359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.917799880125595))-π/2
    2×atan(0.399396795976057)-π/2
    2×0.379986265506403-π/2
    0.759972531012806-1.57079632675     		φ = -0.81082380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38167359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.868286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81082380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.456782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28787 KachelY 42341 -0.38167359 -0.81082380 -21.868286 -46.456782
    Oben rechts KachelX + 1 28788 KachelY 42341 -0.38157772 -0.81082380 -21.862793 -46.456782
    Unten links KachelX 28787 KachelY + 1 42342 -0.38167359 -0.81088984 -21.868286 -46.460565
    Unten rechts KachelX + 1 28788 KachelY + 1 42342 -0.38157772 -0.81088984 -21.862793 -46.460565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81082380--0.81088984) × R
    6.60399999999894e-05 × 6371000     		dl = 420.740839999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81082380--0.81088984) × R
    6.60399999999894e-05 × 6371000     		dr = 420.740839999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38167359--0.38157772) × cos(-0.81082380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.688901531282173 × 6371000     		do = 420.772630041415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38167359--0.38157772) × cos(-0.81088984) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.688853660359899 × 6371000     		du = 420.743391067551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81082380)-sin(-0.81088984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688901531282173-0.688853660359899)×R²
    abs(-0.38157772--0.38167359)×4.78709222744289e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78709222744289e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78709222744289e-05×40589641000000     		ar = 177030.078861772m²