Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28787 / 22103
↖ ↑ ↗
← N 50.433017°
W 21.868286°		 ← 389.06 m → N 50.433017°
W 21.862793°		 →
↑
389.08 m
↓
↑
389.08 m
↓
N 50.429518°
W 21.868286°		 ← 389.09 m →
151 380 m²		 N 50.429518°
W 21.862793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439262390136719 y=0.337272644042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439262390136719 × 216)
    floor (0.439262390136719 × 65536)
    floor (28787.5)     		tx = 28787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337272644042969 × 216)
    floor (0.337272644042969 × 65536)
    floor (22103.5)     		ty = 22103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28787 / 22103 ti = "16/28787/22103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28787/22103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28787 ÷ 216
    28787 ÷ 65536     		x = 0.439254760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22103 ÷ 216
    22103 ÷ 65536     		y = 0.337265014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439254760742188 × 2 - 1) × π
    -0.121490478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38167359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337265014648438 × 2 - 1) × π
    0.325469970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0224940688958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38167359} λ = -0.38167359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0224940688958))-π/2
    2×atan(2.78011993510429)-π/2
    2×1.22550926354205-π/2
    2.45101852708409-1.57079632675     		φ = 0.88022220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38167359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.868286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88022220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.433017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28787 KachelY 22103 -0.38167359 0.88022220 -21.868286 50.433017
    Oben rechts KachelX + 1 28788 KachelY 22103 -0.38157772 0.88022220 -21.862793 50.433017
    Unten links KachelX 28787 KachelY + 1 22104 -0.38167359 0.88016113 -21.868286 50.429518
    Unten rechts KachelX + 1 28788 KachelY + 1 22104 -0.38157772 0.88016113 -21.862793 50.429518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88022220-0.88016113) × R
    6.10699999999964e-05 × 6371000     		dl = 389.076969999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88022220-0.88016113) × R
    6.10699999999964e-05 × 6371000     		dr = 389.076969999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38167359--0.38157772) × cos(0.88022220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.636979870292117 × 6371000     		do = 389.059514510603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38167359--0.38157772) × cos(0.88016113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637026946772422 × 6371000     		du = 389.088268249028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88022220)-sin(0.88016113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636979870292117-0.637026946772422)×R²
    abs(-0.38157772--0.38167359)×4.70764803048862e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70764803048862e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70764803048862e-05×40589641000000     		ar = 151379.690811076m²