Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28786 / 21082
↖ ↑ ↗
← N 76.459062°
W100.936890°		 ← 71.51 m → N 76.459062°
W100.934143°		 →
↑
71.48 m
↓
↑
71.48 m
↓
N 76.458419°
W100.936890°		 ← 71.52 m →
5 112 m²		 N 76.458419°
W100.934143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219623565673828 y=0.160846710205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219623565673828 × 217)
    floor (0.219623565673828 × 131072)
    floor (28786.5)     		tx = 28786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160846710205078 × 217)
    floor (0.160846710205078 × 131072)
    floor (21082.5)     		ty = 21082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28786 / 21082 ti = "17/28786/21082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28786/21082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28786 ÷ 217
    28786 ÷ 131072     		x = 0.219619750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21082 ÷ 217
    21082 ÷ 131072     		y = 0.160842895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219619750976562 × 2 - 1) × π
    -0.560760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76168106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160842895507812 × 2 - 1) × π
    0.678314208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13098693570998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76168106} λ = -1.76168106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13098693570998))-π/2
    2×atan(8.42317584355684)-π/2
    2×1.4526293548439-π/2
    2.90525870968779-1.57079632675     		φ = 1.33446238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76168106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.936890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33446238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.459062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28786 KachelY 21082 -1.76168106 1.33446238 -100.936890 76.459062
    Oben rechts KachelX + 1 28787 KachelY 21082 -1.76163312 1.33446238 -100.934143 76.459062
    Unten links KachelX 28786 KachelY + 1 21083 -1.76168106 1.33445116 -100.936890 76.458419
    Unten rechts KachelX + 1 28787 KachelY + 1 21083 -1.76163312 1.33445116 -100.934143 76.458419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33446238-1.33445116) × R
    1.12199999999785e-05 × 6371000     		dl = 71.4826199998628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33446238-1.33445116) × R
    1.12199999999785e-05 × 6371000     		dr = 71.4826199998628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76168106--1.76163312) × cos(1.33446238) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.234140060354285 × 6371000     		do = 71.5124011973054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76168106--1.76163312) × cos(1.33445116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.234150968455816 × 6371000     		du = 71.5157328122875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33446238)-sin(1.33445116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234140060354285-0.234150968455816)×R²
    abs(-1.76163312--1.76168106)×1.09081015308987e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09081015308987e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09081015308987e-05×40589641000000     		ar = 5112.01287657911m²