Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28782 / 43638
↖ ↑ ↗
← S 51.144894°
W 21.895752°		 ← 383.18 m → S 51.144894°
W 21.890259°		 →
↑
383.22 m
↓
↑
383.22 m
↓
S 51.148341°
W 21.895752°		 ← 383.15 m →
146 835 m²		 S 51.148341°
W 21.890259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439186096191406 y=0.665870666503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439186096191406 × 216)
    floor (0.439186096191406 × 65536)
    floor (28782.5)     		tx = 28782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665870666503906 × 216)
    floor (0.665870666503906 × 65536)
    floor (43638.5)     		ty = 43638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28782 / 43638 ti = "16/28782/43638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28782/43638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28782 ÷ 216
    28782 ÷ 65536     		x = 0.439178466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43638 ÷ 216
    43638 ÷ 65536     		y = 0.665863037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439178466796875 × 2 - 1) × π
    -0.12164306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38215296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665863037109375 × 2 - 1) × π
    -0.33172607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04214819774002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38215296} λ = -0.38215296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04214819774002))-π/2
    2×atan(0.352696206379241)-π/2
    2×0.339074762765649-π/2
    0.678149525531299-1.57079632675     		φ = -0.89264680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38215296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.895752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89264680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.144894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28782 KachelY 43638 -0.38215296 -0.89264680 -21.895752 -51.144894
    Oben rechts KachelX + 1 28783 KachelY 43638 -0.38205709 -0.89264680 -21.890259 -51.144894
    Unten links KachelX 28782 KachelY + 1 43639 -0.38215296 -0.89270695 -21.895752 -51.148341
    Unten rechts KachelX + 1 28783 KachelY + 1 43639 -0.38205709 -0.89270695 -21.890259 -51.148341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89264680--0.89270695) × R
    6.01500000000366e-05 × 6371000     		dl = 383.215650000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89264680--0.89270695) × R
    6.01500000000366e-05 × 6371000     		dr = 383.215650000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38215296--0.38205709) × cos(-0.89264680) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627353070786291 × 6371000     		do = 383.179583108202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38215296--0.38205709) × cos(-0.89270695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627306228744102 × 6371000     		du = 383.150972561711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89264680)-sin(-0.89270695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627353070786291-0.627306228744102)×R²
    abs(-0.38205709--0.38215296)×4.68420421888549e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68420421888549e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68420421888549e-05×40589641000000     		ar = 146834.931047194m²