Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28782 / 14831
↖ ↑ ↗
← N 69.689525°
W 21.895752°		 ← 212.01 m → N 69.689525°
W 21.890259°		 →
↑
212.03 m
↓
↑
212.03 m
↓
N 69.687618°
W 21.895752°		 ← 212.03 m →
44 954 m²		 N 69.687618°
W 21.890259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439186096191406 y=0.226310729980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439186096191406 × 216)
    floor (0.439186096191406 × 65536)
    floor (28782.5)     		tx = 28782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226310729980469 × 216)
    floor (0.226310729980469 × 65536)
    floor (14831.5)     		ty = 14831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28782 / 14831 ti = "16/28782/14831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28782/14831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28782 ÷ 216
    28782 ÷ 65536     		x = 0.439178466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14831 ÷ 216
    14831 ÷ 65536     		y = 0.226303100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439178466796875 × 2 - 1) × π
    -0.12164306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38215296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226303100585938 × 2 - 1) × π
    0.547393798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71968833696989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38215296} λ = -0.38215296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71968833696989))-π/2
    2×atan(5.58278824440835)-π/2
    2×1.39355399813035-π/2
    2.7871079962607-1.57079632675     		φ = 1.21631167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38215296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.895752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21631167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.689525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28782 KachelY 14831 -0.38215296 1.21631167 -21.895752 69.689525
    Oben rechts KachelX + 1 28783 KachelY 14831 -0.38205709 1.21631167 -21.890259 69.689525
    Unten links KachelX 28782 KachelY + 1 14832 -0.38215296 1.21627839 -21.895752 69.687618
    Unten rechts KachelX + 1 28783 KachelY + 1 14832 -0.38205709 1.21627839 -21.890259 69.687618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21631167-1.21627839) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dl = 212.026880000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21631167-1.21627839) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dr = 212.026880000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38215296--0.38205709) × cos(1.21631167) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347107109354087 × 6371000     		do = 212.008777273524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38215296--0.38205709) × cos(1.21627839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347138319994255 × 6371000     		du = 212.027840350833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21631167)-sin(1.21627839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347107109354087-0.347138319994255)×R²
    abs(-0.38205709--0.38215296)×3.12106401684775e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12106401684775e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12106401684775e-05×40589641000000     		ar = 44953.5805245595m²