Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28781 / 22146
↖ ↑ ↗
← N 50.282319°
W 21.901245°		 ← 390.34 m → N 50.282319°
W 21.895752°		 →
↑
390.35 m
↓
↑
390.35 m
↓
N 50.278809°
W 21.901245°		 ← 390.37 m →
152 374 m²		 N 50.278809°
W 21.895752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439170837402344 y=0.337928771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439170837402344 × 216)
    floor (0.439170837402344 × 65536)
    floor (28781.5)     		tx = 28781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337928771972656 × 216)
    floor (0.337928771972656 × 65536)
    floor (22146.5)     		ty = 22146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28781 / 22146 ti = "16/28781/22146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28781/22146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28781 ÷ 216
    28781 ÷ 65536     		x = 0.439163208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22146 ÷ 216
    22146 ÷ 65536     		y = 0.337921142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439163208007812 × 2 - 1) × π
    -0.121673583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38224884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337921142578125 × 2 - 1) × π
    0.32415771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01837149552847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38224884} λ = -0.38224884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01837149552847))-π/2
    2×atan(2.76868227918885)-π/2
    2×1.2241941783599-π/2
    2.4483883567198-1.57079632675     		φ = 0.87759203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38224884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.901245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87759203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.282319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28781 KachelY 22146 -0.38224884 0.87759203 -21.901245 50.282319
    Oben rechts KachelX + 1 28782 KachelY 22146 -0.38215296 0.87759203 -21.895752 50.282319
    Unten links KachelX 28781 KachelY + 1 22147 -0.38224884 0.87753076 -21.901245 50.278809
    Unten rechts KachelX + 1 28782 KachelY + 1 22147 -0.38215296 0.87753076 -21.895752 50.278809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87759203-0.87753076) × R
    6.12700000000022e-05 × 6371000     		dl = 390.351170000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87759203-0.87753076) × R
    6.12700000000022e-05 × 6371000     		dr = 390.351170000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38224884--0.38215296) × cos(0.87759203) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.639005211301205 × 6371000     		do = 390.337279051024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38224884--0.38215296) × cos(0.87753076) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.639052339133115 × 6371000     		du = 390.366067156895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87759203)-sin(0.87753076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639005211301205-0.639052339133115)×R²
    abs(-0.38215296--0.38224884)×4.71278319107427e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71278319107427e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71278319107427e-05×40589641000000     		ar = 152374.232355259m²