Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28780 / 43748
↖ ↑ ↗
← S 51.522416°
W 21.906738°		 ← 380.04 m → S 51.522416°
W 21.901245°		 →
↑
380.03 m
↓
↑
380.03 m
↓
S 51.525834°
W 21.906738°		 ← 380.01 m →
144 420 m²		 S 51.525834°
W 21.901245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439155578613281 y=0.667549133300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439155578613281 × 216)
    floor (0.439155578613281 × 65536)
    floor (28780.5)     		tx = 28780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667549133300781 × 216)
    floor (0.667549133300781 × 65536)
    floor (43748.5)     		ty = 43748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28780 / 43748 ti = "16/28780/43748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28780/43748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28780 ÷ 216
    28780 ÷ 65536     		x = 0.43914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43748 ÷ 216
    43748 ÷ 65536     		y = 0.66754150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.1217041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38234471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66754150390625 × 2 - 1) × π
    -0.3350830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05269431565643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38234471} λ = -0.38234471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05269431565643))-π/2
    2×atan(0.34899617537298)-π/2
    2×0.335780263795473-π/2
    0.671560527590946-1.57079632675     		φ = -0.89923580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38234471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.906738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89923580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.522416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28780 KachelY 43748 -0.38234471 -0.89923580 -21.906738 -51.522416
    Oben rechts KachelX + 1 28781 KachelY 43748 -0.38224884 -0.89923580 -21.901245 -51.522416
    Unten links KachelX 28780 KachelY + 1 43749 -0.38234471 -0.89929545 -21.906738 -51.525834
    Unten rechts KachelX + 1 28781 KachelY + 1 43749 -0.38224884 -0.89929545 -21.901245 -51.525834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89923580--0.89929545) × R
    5.96499999999667e-05 × 6371000     		dl = 380.030149999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89923580--0.89929545) × R
    5.96499999999667e-05 × 6371000     		dr = 380.030149999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38234471--0.38224884) × cos(-0.89923580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622208405126124 × 6371000     		do = 380.037284242234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38234471--0.38224884) × cos(-0.89929545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622161706918485 × 6371000     		du = 380.008761548127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89923580)-sin(-0.89929545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622208405126124-0.622161706918485)×R²
    abs(-0.38224884--0.38234471)×4.66982076390288e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66982076390288e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66982076390288e-05×40589641000000     		ar = 144420.206436913m²