Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28780 / 43720
↖ ↑ ↗
← S 51.426615°
W 21.906738°		 ← 380.84 m → S 51.426615°
W 21.901245°		 →
↑
380.79 m
↓
↑
380.79 m
↓
S 51.430039°
W 21.906738°		 ← 380.81 m →
145 015 m²		 S 51.430039°
W 21.901245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439155578613281 y=0.667121887207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439155578613281 × 216)
    floor (0.439155578613281 × 65536)
    floor (28780.5)     		tx = 28780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667121887207031 × 216)
    floor (0.667121887207031 × 65536)
    floor (43720.5)     		ty = 43720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28780 / 43720 ti = "16/28780/43720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28780/43720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28780 ÷ 216
    28780 ÷ 65536     		x = 0.43914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43720 ÷ 216
    43720 ÷ 65536     		y = 0.6671142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.1217041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38234471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6671142578125 × 2 - 1) × π
    -0.334228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05000984927771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38234471} λ = -0.38234471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05000984927771))-π/2
    2×atan(0.349934302494057)-π/2
    2×0.336616290342903-π/2
    0.673232580685806-1.57079632675     		φ = -0.89756375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38234471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.906738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89756375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.426615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28780 KachelY 43720 -0.38234471 -0.89756375 -21.906738 -51.426615
    Oben rechts KachelX + 1 28781 KachelY 43720 -0.38224884 -0.89756375 -21.901245 -51.426615
    Unten links KachelX 28780 KachelY + 1 43721 -0.38234471 -0.89762352 -21.906738 -51.430039
    Unten rechts KachelX + 1 28781 KachelY + 1 43721 -0.38224884 -0.89762352 -21.901245 -51.430039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89756375--0.89762352) × R
    5.97700000000145e-05 × 6371000     		dl = 380.794670000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89756375--0.89762352) × R
    5.97700000000145e-05 × 6371000     		dr = 380.794670000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38234471--0.38224884) × cos(-0.89756375) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.623516501842158 × 6371000     		do = 380.836253718365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38234471--0.38224884) × cos(-0.89762352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.623469771933436 × 6371000     		du = 380.807711661624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89756375)-sin(-0.89762352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623516501842158-0.623469771933436)×R²
    abs(-0.38224884--0.38234471)×4.67299087221207e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67299087221207e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67299087221207e-05×40589641000000     		ar = 145014.98127056m²