Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28779 / 28652
↖ ↑ ↗
← N 70.630840°
W100.956116°		 ← 101.30 m → N 70.630840°
W100.953369°		 →
↑
101.24 m
↓
↑
101.24 m
↓
N 70.629930°
W100.956116°		 ← 101.30 m →
10 255 m²		 N 70.629930°
W100.953369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219570159912109 y=0.218601226806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219570159912109 × 217)
    floor (0.219570159912109 × 131072)
    floor (28779.5)     		tx = 28779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218601226806641 × 217)
    floor (0.218601226806641 × 131072)
    floor (28652.5)     		ty = 28652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28779 / 28652 ti = "17/28779/28652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28779/28652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28779 ÷ 217
    28779 ÷ 131072     		x = 0.219566345214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28652 ÷ 217
    28652 ÷ 131072     		y = 0.218597412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219566345214844 × 2 - 1) × π
    -0.560867309570312 × 3.1415926535     		Λ = -1.76201662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218597412109375 × 2 - 1) × π
    0.56280517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76810460558615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76201662} λ = -1.76201662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76810460558615))-π/2
    2×atan(5.8597363176364)-π/2
    2×1.40176852559824-π/2
    2.80353705119649-1.57079632675     		φ = 1.23274072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76201662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.956116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23274072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.630840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28779 KachelY 28652 -1.76201662 1.23274072 -100.956116 70.630840
    Oben rechts KachelX + 1 28780 KachelY 28652 -1.76196868 1.23274072 -100.953369 70.630840
    Unten links KachelX 28779 KachelY + 1 28653 -1.76201662 1.23272483 -100.956116 70.629930
    Unten rechts KachelX + 1 28780 KachelY + 1 28653 -1.76196868 1.23272483 -100.953369 70.629930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23274072-1.23272483) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dl = 101.235190000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23274072-1.23272483) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dr = 101.235190000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76201662--1.76196868) × cos(1.23274072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331653377128849 × 6371000     		do = 101.295478133011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76201662--1.76196868) × cos(1.23272483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331668367733843 × 6371000     		du = 101.300056649635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23274072)-sin(1.23272483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331653377128849-0.331668367733843)×R²
    abs(-1.76196868--1.76201662)×1.49906049936033e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49906049936033e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49906049936033e-05×40589641000000     		ar = 10254.8987286704m²