Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28779 / 22211
↖ ↑ ↗
← N 50.053612°
W 21.912232°		 ← 392.21 m → N 50.053612°
W 21.906738°		 →
↑
392.20 m
↓
↑
392.20 m
↓
N 50.050085°
W 21.912232°		 ← 392.24 m →
153 830 m²		 N 50.050085°
W 21.906738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439140319824219 y=0.338920593261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439140319824219 × 216)
    floor (0.439140319824219 × 65536)
    floor (28779.5)     		tx = 28779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338920593261719 × 216)
    floor (0.338920593261719 × 65536)
    floor (22211.5)     		ty = 22211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28779 / 22211 ti = "16/28779/22211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28779/22211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28779 ÷ 216
    28779 ÷ 65536     		x = 0.439132690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22211 ÷ 216
    22211 ÷ 65536     		y = 0.338912963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439132690429688 × 2 - 1) × π
    -0.121734619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38244059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338912963867188 × 2 - 1) × π
    0.322174072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01213969857787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38244059} λ = -0.38244059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01213969857787))-π/2
    2×atan(2.75148206319558)-π/2
    2×1.22219832853275-π/2
    2.44439665706549-1.57079632675     		φ = 0.87360033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38244059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.912232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87360033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.053612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28779 KachelY 22211 -0.38244059 0.87360033 -21.912232 50.053612
    Oben rechts KachelX + 1 28780 KachelY 22211 -0.38234471 0.87360033 -21.906738 50.053612
    Unten links KachelX 28779 KachelY + 1 22212 -0.38244059 0.87353877 -21.912232 50.050085
    Unten rechts KachelX + 1 28780 KachelY + 1 22212 -0.38234471 0.87353877 -21.906738 50.050085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87360033-0.87353877) × R
    6.1560000000016e-05 × 6371000     		dl = 392.198760000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87360033-0.87353877) × R
    6.1560000000016e-05 × 6371000     		dr = 392.198760000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38244059--0.38234471) × cos(0.87360033) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.642070537545612 × 6371000     		do = 392.20973812433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38244059--0.38234471) × cos(0.87353877) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.642117731030057 × 6371000     		du = 392.238566334149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87360033)-sin(0.87353877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642070537545612-0.642117731030057)×R²
    abs(-0.38234471--0.38244059)×4.71934844451516e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.71934844451516e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.71934844451516e-05×40589641000000     		ar = 153829.826195151m²