Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28776 / 43738
↖ ↑ ↗
← S 51.488224°
W 21.928711°		 ← 380.36 m → S 51.488224°
W 21.923218°		 →
↑
380.35 m
↓
↑
380.35 m
↓
S 51.491645°
W 21.928711°		 ← 380.33 m →
144 665 m²		 S 51.491645°
W 21.923218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439094543457031 y=0.667396545410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439094543457031 × 216)
    floor (0.439094543457031 × 65536)
    floor (28776.5)     		tx = 28776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667396545410156 × 216)
    floor (0.667396545410156 × 65536)
    floor (43738.5)     		ty = 43738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28776 / 43738 ti = "16/28776/43738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28776/43738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28776 ÷ 216
    28776 ÷ 65536     		x = 0.4390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43738 ÷ 216
    43738 ÷ 65536     		y = 0.667388916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38272821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667388916015625 × 2 - 1) × π
    -0.33477783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05173557766403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38272821} λ = -0.38272821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05173557766403))-π/2
    2×atan(0.349330931711682)-π/2
    2×0.336078643156915-π/2
    0.672157286313831-1.57079632675     		φ = -0.89863904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38272821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.928711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89863904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.488224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28776 KachelY 43738 -0.38272821 -0.89863904 -21.928711 -51.488224
    Oben rechts KachelX + 1 28777 KachelY 43738 -0.38263233 -0.89863904 -21.923218 -51.488224
    Unten links KachelX 28776 KachelY + 1 43739 -0.38272821 -0.89869874 -21.928711 -51.491645
    Unten rechts KachelX + 1 28777 KachelY + 1 43739 -0.38263233 -0.89869874 -21.923218 -51.491645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89863904--0.89869874) × R
    5.97000000001069e-05 × 6371000     		dl = 380.348700000681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89863904--0.89869874) × R
    5.97000000001069e-05 × 6371000     		dr = 380.348700000681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38272821--0.38263233) × cos(-0.89863904) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.622675468855821 × 6371000     		do = 380.362231710243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38272821--0.38263233) × cos(-0.89869874) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.622628753678384 × 6371000     		du = 380.333695674967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89863904)-sin(-0.89869874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622675468855821-0.622628753678384)×R²
    abs(-0.38263233--0.38272821)×4.6715177437151e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.6715177437151e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.6715177437151e-05×40589641000000     		ar = 144664.853581204m²