Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28776 / 22071
↖ ↑ ↗
← N 50.544854°
W 21.928711°		 ← 388.18 m → N 50.544854°
W 21.923218°		 →
↑
388.19 m
↓
↑
388.19 m
↓
N 50.541363°
W 21.928711°		 ← 388.21 m →
150 691 m²		 N 50.541363°
W 21.923218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439094543457031 y=0.336784362792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439094543457031 × 216)
    floor (0.439094543457031 × 65536)
    floor (28776.5)     		tx = 28776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336784362792969 × 216)
    floor (0.336784362792969 × 65536)
    floor (22071.5)     		ty = 22071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28776 / 22071 ti = "16/28776/22071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28776/22071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28776 ÷ 216
    28776 ÷ 65536     		x = 0.4390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22071 ÷ 216
    22071 ÷ 65536     		y = 0.336776733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38272821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336776733398438 × 2 - 1) × π
    0.326446533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02556203047148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38272821} λ = -0.38272821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02556203047148))-π/2
    2×atan(2.78866233341551)-π/2
    2×1.22648522326147-π/2
    2.45297044652293-1.57079632675     		φ = 0.88217412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38272821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.928711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88217412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.544854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28776 KachelY 22071 -0.38272821 0.88217412 -21.928711 50.544854
    Oben rechts KachelX + 1 28777 KachelY 22071 -0.38263233 0.88217412 -21.923218 50.544854
    Unten links KachelX 28776 KachelY + 1 22072 -0.38272821 0.88211319 -21.928711 50.541363
    Unten rechts KachelX + 1 28777 KachelY + 1 22072 -0.38263233 0.88211319 -21.923218 50.541363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88217412-0.88211319) × R
    6.09299999999591e-05 × 6371000     		dl = 388.185029999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88217412-0.88211319) × R
    6.09299999999591e-05 × 6371000     		dr = 388.185029999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38272821--0.38263233) × cos(0.88217412) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.635473960865575 × 6371000     		do = 388.180209496169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38272821--0.38263233) × cos(0.88211319) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.635521005097655 × 6371000     		du = 388.20894653496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88217412)-sin(0.88211319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635473960865575-0.635521005097655)×R²
    abs(-0.38263233--0.38272821)×4.70442320792408e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70442320792408e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70442320792408e-05×40589641000000     		ar = 150691.323959321m²