Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28776 / 21096
↖ ↑ ↗
← N 76.450057°
W100.964355°		 ← 71.56 m → N 76.450057°
W100.961609°		 →
↑
71.61 m
↓
↑
71.61 m
↓
N 76.449413°
W100.964355°		 ← 71.56 m →
5 124 m²		 N 76.449413°
W100.961609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219547271728516 y=0.160953521728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219547271728516 × 217)
    floor (0.219547271728516 × 131072)
    floor (28776.5)     		tx = 28776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160953521728516 × 217)
    floor (0.160953521728516 × 131072)
    floor (21096.5)     		ty = 21096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28776 / 21096 ti = "17/28776/21096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28776/21096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28776 ÷ 217
    28776 ÷ 131072     		x = 0.21954345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21096 ÷ 217
    21096 ÷ 131072     		y = 0.16094970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21954345703125 × 2 - 1) × π
    -0.5609130859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.76216043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16094970703125 × 2 - 1) × π
    0.6781005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1303158191153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76216043} λ = -1.76216043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1303158191153))-π/2
    2×atan(8.41752480693265)-π/2
    2×1.45255076156842-π/2
    2.90510152313683-1.57079632675     		φ = 1.33430520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76216043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.964355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33430520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.450057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28776 KachelY 21096 -1.76216043 1.33430520 -100.964355 76.450057
    Oben rechts KachelX + 1 28777 KachelY 21096 -1.76211249 1.33430520 -100.961609 76.450057
    Unten links KachelX 28776 KachelY + 1 21097 -1.76216043 1.33429396 -100.964355 76.449413
    Unten rechts KachelX + 1 28777 KachelY + 1 21097 -1.76211249 1.33429396 -100.961609 76.449413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33430520-1.33429396) × R
    1.1240000000079e-05 × 6371000     		dl = 71.6100400005031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33430520-1.33429396) × R
    1.1240000000079e-05 × 6371000     		dr = 71.6100400005031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76216043--1.76211249) × cos(1.33430520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.234292868309429 × 6371000     		do = 71.5590726800829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76216043--1.76211249) × cos(1.33429396) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.234303795441164 × 6371000     		du = 71.5624101073793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33430520)-sin(1.33429396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234292868309429-0.234303795441164)×R²
    abs(-1.76211249--1.76216043)×1.0927131735311e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0927131735311e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0927131735311e-05×40589641000000     		ar = 5124.46755379514m²