Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28775 / 43639
↖ ↑ ↗
← S 51.148341°
W 21.934204°		 ← 383.15 m → S 51.148341°
W 21.928711°		 →
↑
383.15 m
↓
↑
383.15 m
↓
S 51.151786°
W 21.934204°		 ← 383.12 m →
146 800 m²		 S 51.151786°
W 21.928711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439079284667969 y=0.665885925292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439079284667969 × 216)
    floor (0.439079284667969 × 65536)
    floor (28775.5)     		tx = 28775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665885925292969 × 216)
    floor (0.665885925292969 × 65536)
    floor (43639.5)     		ty = 43639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28775 / 43639 ti = "16/28775/43639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28775/43639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28775 ÷ 216
    28775 ÷ 65536     		x = 0.439071655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43639 ÷ 216
    43639 ÷ 65536     		y = 0.665878295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439071655273438 × 2 - 1) × π
    -0.121856689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38282408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665878295898438 × 2 - 1) × π
    -0.331756591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04224407153926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38282408} λ = -0.38282408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04224407153926))-π/2
    2×atan(0.35266239367486)-π/2
    2×0.339044690527149-π/2
    0.678089381054298-1.57079632675     		φ = -0.89270695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38282408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.934204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89270695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.148341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28775 KachelY 43639 -0.38282408 -0.89270695 -21.934204 -51.148341
    Oben rechts KachelX + 1 28776 KachelY 43639 -0.38272821 -0.89270695 -21.928711 -51.148341
    Unten links KachelX 28775 KachelY + 1 43640 -0.38282408 -0.89276709 -21.934204 -51.151786
    Unten rechts KachelX + 1 28776 KachelY + 1 43640 -0.38272821 -0.89276709 -21.928711 -51.151786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89270695--0.89276709) × R
    6.01399999999863e-05 × 6371000     		dl = 383.151939999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89270695--0.89276709) × R
    6.01399999999863e-05 × 6371000     		dr = 383.151939999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38282408--0.38272821) × cos(-0.89270695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627306228744102 × 6371000     		do = 383.150972561711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38282408--0.38272821) × cos(-0.89276709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627259392220409 × 6371000     		du = 383.12236538585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89270695)-sin(-0.89276709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627306228744102-0.627259392220409)×R²
    abs(-0.38272821--0.38282408)×4.68365236928614e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68365236928614e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68365236928614e-05×40589641000000     		ar = 146799.558046902m²