Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28774 / 43739
↖ ↑ ↗
← S 51.491645°
W 21.939697°		 ← 380.29 m → S 51.491645°
W 21.934204°		 →
↑
380.28 m
↓
↑
380.28 m
↓
S 51.495065°
W 21.939697°		 ← 380.27 m →
144 615 m²		 S 51.495065°
W 21.934204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439064025878906 y=0.667411804199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439064025878906 × 216)
    floor (0.439064025878906 × 65536)
    floor (28774.5)     		tx = 28774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667411804199219 × 216)
    floor (0.667411804199219 × 65536)
    floor (43739.5)     		ty = 43739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28774 / 43739 ti = "16/28774/43739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28774/43739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28774 ÷ 216
    28774 ÷ 65536     		x = 0.439056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43739 ÷ 216
    43739 ÷ 65536     		y = 0.667404174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.12188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38291995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667404174804688 × 2 - 1) × π
    -0.334808349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05183145146327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38291995} λ = -0.38291995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05183145146327))-π/2
    2×atan(0.349297441633502)-π/2
    2×0.336048795145108-π/2
    0.672097590290216-1.57079632675     		φ = -0.89869874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38291995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.939697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89869874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.491645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28774 KachelY 43739 -0.38291995 -0.89869874 -21.939697 -51.491645
    Oben rechts KachelX + 1 28775 KachelY 43739 -0.38282408 -0.89869874 -21.934204 -51.491645
    Unten links KachelX 28774 KachelY + 1 43740 -0.38291995 -0.89875843 -21.939697 -51.495065
    Unten rechts KachelX + 1 28775 KachelY + 1 43740 -0.38282408 -0.89875843 -21.934204 -51.495065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89869874--0.89875843) × R
    5.96899999999456e-05 × 6371000     		dl = 380.284989999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89869874--0.89875843) × R
    5.96899999999456e-05 × 6371000     		dr = 380.284989999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38291995--0.38282408) × cos(-0.89869874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622628753678384 × 6371000     		do = 380.294027997091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38291995--0.38282408) × cos(-0.89875843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622582044107387 × 6371000     		du = 380.265498362384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89869874)-sin(-0.89875843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622628753678384-0.622582044107387)×R²
    abs(-0.38282408--0.38291995)×4.6709570996506e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6709570996506e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6709570996506e-05×40589641000000     		ar = 144614.68598077m²