Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28774 / 43737
↖ ↑ ↗
← S 51.484804°
W 21.939697°		 ← 380.35 m → S 51.484804°
W 21.934204°		 →
↑
380.35 m
↓
↑
380.35 m
↓
S 51.488224°
W 21.939697°		 ← 380.32 m →
144 661 m²		 S 51.488224°
W 21.934204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439064025878906 y=0.667381286621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439064025878906 × 216)
    floor (0.439064025878906 × 65536)
    floor (28774.5)     		tx = 28774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667381286621094 × 216)
    floor (0.667381286621094 × 65536)
    floor (43737.5)     		ty = 43737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28774 / 43737 ti = "16/28774/43737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28774/43737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28774 ÷ 216
    28774 ÷ 65536     		x = 0.439056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43737 ÷ 216
    43737 ÷ 65536     		y = 0.667373657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.12188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38291995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667373657226562 × 2 - 1) × π
    -0.334747314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05163970386479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38291995} λ = -0.38291995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05163970386479))-π/2
    2×atan(0.349364425000836)-π/2
    2×0.336108493407985-π/2
    0.67221698681597-1.57079632675     		φ = -0.89857934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38291995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.939697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89857934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.484804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28774 KachelY 43737 -0.38291995 -0.89857934 -21.939697 -51.484804
    Oben rechts KachelX + 1 28775 KachelY 43737 -0.38282408 -0.89857934 -21.934204 -51.484804
    Unten links KachelX 28774 KachelY + 1 43738 -0.38291995 -0.89863904 -21.939697 -51.488224
    Unten rechts KachelX + 1 28775 KachelY + 1 43738 -0.38282408 -0.89863904 -21.934204 -51.488224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89857934--0.89863904) × R
    5.96999999999959e-05 × 6371000     		dl = 380.348699999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89857934--0.89863904) × R
    5.96999999999959e-05 × 6371000     		dr = 380.348699999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38291995--0.38282408) × cos(-0.89857934) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622722181813987 × 6371000     		do = 380.351092759691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38291995--0.38282408) × cos(-0.89863904) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622675468855821 × 6371000     		du = 380.322561056143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89857934)-sin(-0.89863904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622722181813987-0.622675468855821)×R²
    abs(-0.38282408--0.38291995)×4.67129581657177e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67129581657177e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67129581657177e-05×40589641000000     		ar = 144660.617719567m²