Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28774 / 42410
↖ ↑ ↗
← S 46.717269°
W 21.939697°		 ← 418.76 m → S 46.717269°
W 21.934204°		 →
↑
418.70 m
↓
↑
418.70 m
↓
S 46.721034°
W 21.939697°		 ← 418.73 m →
175 328 m²		 S 46.721034°
W 21.934204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439064025878906 y=0.647132873535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439064025878906 × 216)
    floor (0.439064025878906 × 65536)
    floor (28774.5)     		tx = 28774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647132873535156 × 216)
    floor (0.647132873535156 × 65536)
    floor (42410.5)     		ty = 42410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28774 / 42410 ti = "16/28774/42410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28774/42410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28774 ÷ 216
    28774 ÷ 65536     		x = 0.439056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42410 ÷ 216
    42410 ÷ 65536     		y = 0.647125244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.12188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38291995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647125244140625 × 2 - 1) × π
    -0.29425048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.924415172273163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38291995} λ = -0.38291995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.924415172273163))-π/2
    2×atan(0.396763389468177)-π/2
    2×0.377713085359814-π/2
    0.755426170719629-1.57079632675     		φ = -0.81537016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38291995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.939697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81537016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.717269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28774 KachelY 42410 -0.38291995 -0.81537016 -21.939697 -46.717269
    Oben rechts KachelX + 1 28775 KachelY 42410 -0.38282408 -0.81537016 -21.934204 -46.717269
    Unten links KachelX 28774 KachelY + 1 42411 -0.38291995 -0.81543588 -21.939697 -46.721034
    Unten rechts KachelX + 1 28775 KachelY + 1 42411 -0.38282408 -0.81543588 -21.934204 -46.721034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81537016--0.81543588) × R
    6.57200000000469e-05 × 6371000     		dl = 418.702120000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81537016--0.81543588) × R
    6.57200000000469e-05 × 6371000     		dr = 418.702120000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38291995--0.38282408) × cos(-0.81537016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.685598971567008 × 6371000     		do = 418.755466957697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38291995--0.38282408) × cos(-0.81543588) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.685551127278326 × 6371000     		du = 418.726244251306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81537016)-sin(-0.81543588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685598971567008-0.685551127278326)×R²
    abs(-0.38282408--0.38291995)×4.78442886824304e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78442886824304e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78442886824304e-05×40589641000000     		ar = 175327.684035155m²