Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28774 / 22069
↖ ↑ ↗
← N 50.551835°
W 21.939697°		 ← 388.08 m → N 50.551835°
W 21.934204°		 →
↑
388.12 m
↓
↑
388.12 m
↓
N 50.548344°
W 21.939697°		 ← 388.11 m →
150 629 m²		 N 50.548344°
W 21.934204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439064025878906 y=0.336753845214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439064025878906 × 216)
    floor (0.439064025878906 × 65536)
    floor (28774.5)     		tx = 28774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336753845214844 × 216)
    floor (0.336753845214844 × 65536)
    floor (22069.5)     		ty = 22069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28774 / 22069 ti = "16/28774/22069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28774/22069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28774 ÷ 216
    28774 ÷ 65536     		x = 0.439056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22069 ÷ 216
    22069 ÷ 65536     		y = 0.336746215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.12188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38291995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336746215820312 × 2 - 1) × π
    0.326507568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02575377806996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38291995} λ = -0.38291995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02575377806996))-π/2
    2×atan(2.78919710398977)-π/2
    2×1.22654614405443-π/2
    2.45309228810886-1.57079632675     		φ = 0.88229596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38291995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.939697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88229596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.551835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28774 KachelY 22069 -0.38291995 0.88229596 -21.939697 50.551835
    Oben rechts KachelX + 1 28775 KachelY 22069 -0.38282408 0.88229596 -21.934204 50.551835
    Unten links KachelX 28774 KachelY + 1 22070 -0.38291995 0.88223504 -21.939697 50.548344
    Unten rechts KachelX + 1 28775 KachelY + 1 22070 -0.38282408 0.88223504 -21.934204 50.548344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88229596-0.88223504) × R
    6.09200000000198e-05 × 6371000     		dl = 388.121320000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88229596-0.88223504) × R
    6.09200000000198e-05 × 6371000     		dr = 388.121320000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38291995--0.38282408) × cos(0.88229596) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.635379880768062 × 6371000     		do = 388.082260477182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38291995--0.38282408) × cos(0.88223504) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.635426921995931 × 6371000     		du = 388.11099268385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88229596)-sin(0.88223504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635379880768062-0.635426921995931)×R²
    abs(-0.38282408--0.38291995)×4.7041227869804e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7041227869804e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7041227869804e-05×40589641000000     		ar = 150628.575042556m²