Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28774 / 14834
↖ ↑ ↗
← N 69.683804°
W 21.939697°		 ← 212.07 m → N 69.683804°
W 21.934204°		 →
↑
212.09 m
↓
↑
212.09 m
↓
N 69.681897°
W 21.939697°		 ← 212.09 m →
44 979 m²		 N 69.681897°
W 21.934204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439064025878906 y=0.226356506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439064025878906 × 216)
    floor (0.439064025878906 × 65536)
    floor (28774.5)     		tx = 28774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226356506347656 × 216)
    floor (0.226356506347656 × 65536)
    floor (14834.5)     		ty = 14834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28774 / 14834 ti = "16/28774/14834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28774/14834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28774 ÷ 216
    28774 ÷ 65536     		x = 0.439056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14834 ÷ 216
    14834 ÷ 65536     		y = 0.226348876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.12188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38291995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226348876953125 × 2 - 1) × π
    0.54730224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71940071557217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38291995} λ = -0.38291995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71940071557217))-π/2
    2×atan(5.58118274594924)-π/2
    2×1.39350407368141-π/2
    2.78700814736282-1.57079632675     		φ = 1.21621182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38291995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.939697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21621182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.683804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28774 KachelY 14834 -0.38291995 1.21621182 -21.939697 69.683804
    Oben rechts KachelX + 1 28775 KachelY 14834 -0.38282408 1.21621182 -21.934204 69.683804
    Unten links KachelX 28774 KachelY + 1 14835 -0.38291995 1.21617853 -21.939697 69.681897
    Unten rechts KachelX + 1 28775 KachelY + 1 14835 -0.38282408 1.21617853 -21.934204 69.681897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21621182-1.21617853) × R
    3.32899999999636e-05 × 6371000     		dl = 212.090589999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21621182-1.21617853) × R
    3.32899999999636e-05 × 6371000     		dr = 212.090589999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38291995--0.38282408) × cos(1.21621182) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347200749499038 × 6371000     		do = 212.065971528841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38291995--0.38282408) × cos(1.21617853) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347231968363352 × 6371000     		du = 212.085039629358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21621182)-sin(1.21617853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347200749499038-0.347231968363352)×R²
    abs(-0.38282408--0.38291995)×3.12188643140088e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12188643140088e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12188643140088e-05×40589641000000     		ar = 44979.2191068413m²