Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28773 / 43726
↖ ↑ ↗
← S 51.447160°
W 21.945191°		 ← 380.70 m → S 51.447160°
W 21.939697°		 →
↑
380.67 m
↓
↑
380.67 m
↓
S 51.450584°
W 21.945191°		 ← 380.68 m →
144 916 m²		 S 51.450584°
W 21.939697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439048767089844 y=0.667213439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439048767089844 × 216)
    floor (0.439048767089844 × 65536)
    floor (28773.5)     		tx = 28773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667213439941406 × 216)
    floor (0.667213439941406 × 65536)
    floor (43726.5)     		ty = 43726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28773 / 43726 ti = "16/28773/43726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28773/43726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28773 ÷ 216
    28773 ÷ 65536     		x = 0.439041137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43726 ÷ 216
    43726 ÷ 65536     		y = 0.667205810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439041137695312 × 2 - 1) × π
    -0.121917724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38301583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667205810546875 × 2 - 1) × π
    -0.33441162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05058509207315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38301583} λ = -0.38301583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05058509207315))-π/2
    2×atan(0.349733063193947)-π/2
    2×0.33643699397867-π/2
    0.67287398795734-1.57079632675     		φ = -0.89792234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38301583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.945191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89792234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.447160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28773 KachelY 43726 -0.38301583 -0.89792234 -21.945191 -51.447160
    Oben rechts KachelX + 1 28774 KachelY 43726 -0.38291995 -0.89792234 -21.939697 -51.447160
    Unten links KachelX 28773 KachelY + 1 43727 -0.38301583 -0.89798209 -21.945191 -51.450584
    Unten rechts KachelX + 1 28774 KachelY + 1 43727 -0.38291995 -0.89798209 -21.939697 -51.450584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89792234--0.89798209) × R
    5.9749999999914e-05 × 6371000     		dl = 380.667249999452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89792234--0.89798209) × R
    5.9749999999914e-05 × 6371000     		dr = 380.667249999452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38301583--0.38291995) × cos(-0.89792234) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.623236112444431 × 6371000     		do = 380.704701676098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38301583--0.38291995) × cos(-0.89798209) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.623189384816852 × 6371000     		du = 380.676158035634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89792234)-sin(-0.89798209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623236112444431-0.623189384816852)×R²
    abs(-0.38291995--0.38301583)×4.67276275791795e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67276275791795e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67276275791795e-05×40589641000000     		ar = 144916.379077149m²