Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28773 / 43716
↖ ↑ ↗
← S 51.412912°
W 21.945191°		 ← 380.99 m → S 51.412912°
W 21.939697°		 →
↑
380.99 m
↓
↑
380.99 m
↓
S 51.416338°
W 21.945191°		 ← 380.96 m →
145 146 m²		 S 51.416338°
W 21.939697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439048767089844 y=0.667060852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439048767089844 × 216)
    floor (0.439048767089844 × 65536)
    floor (28773.5)     		tx = 28773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667060852050781 × 216)
    floor (0.667060852050781 × 65536)
    floor (43716.5)     		ty = 43716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28773 / 43716 ti = "16/28773/43716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28773/43716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28773 ÷ 216
    28773 ÷ 65536     		x = 0.439041137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43716 ÷ 216
    43716 ÷ 65536     		y = 0.66705322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439041137695312 × 2 - 1) × π
    -0.121917724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38301583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66705322265625 × 2 - 1) × π
    -0.3341064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04962635408075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38301583} λ = -0.38301583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04962635408075))-π/2
    2×atan(0.350068526353772)-π/2
    2×0.336735866058914-π/2
    0.673471732117829-1.57079632675     		φ = -0.89732459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38301583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.945191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89732459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.412912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28773 KachelY 43716 -0.38301583 -0.89732459 -21.945191 -51.412912
    Oben rechts KachelX + 1 28774 KachelY 43716 -0.38291995 -0.89732459 -21.939697 -51.412912
    Unten links KachelX 28773 KachelY + 1 43717 -0.38301583 -0.89738439 -21.945191 -51.416338
    Unten rechts KachelX + 1 28774 KachelY + 1 43717 -0.38291995 -0.89738439 -21.939697 -51.416338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89732459--0.89738439) × R
    5.98000000000543e-05 × 6371000     		dl = 380.985800000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89732459--0.89738439) × R
    5.98000000000543e-05 × 6371000     		dr = 380.985800000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38301583--0.38291995) × cos(-0.89732459) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.62370346173343 × 6371000     		do = 380.99018268096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38301583--0.38291995) × cos(-0.89738439) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.623656717287675 × 6371000     		du = 380.961628767088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89732459)-sin(-0.89738439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62370346173343-0.623656717287675)×R²
    abs(-0.38291995--0.38301583)×4.67444457550314e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67444457550314e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67444457550314e-05×40589641000000     		ar = 145146.410266766m²