Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28773 / 42514
↖ ↑ ↗
← S 47.107522°
W 21.945191°		 ← 415.76 m → S 47.107522°
W 21.939697°		 →
↑
415.77 m
↓
↑
415.77 m
↓
S 47.111262°
W 21.945191°		 ← 415.73 m →
172 855 m²		 S 47.111262°
W 21.939697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439048767089844 y=0.648719787597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439048767089844 × 216)
    floor (0.439048767089844 × 65536)
    floor (28773.5)     		tx = 28773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648719787597656 × 216)
    floor (0.648719787597656 × 65536)
    floor (42514.5)     		ty = 42514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28773 / 42514 ti = "16/28773/42514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28773/42514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28773 ÷ 216
    28773 ÷ 65536     		x = 0.439041137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42514 ÷ 216
    42514 ÷ 65536     		y = 0.648712158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439041137695312 × 2 - 1) × π
    -0.121917724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38301583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648712158203125 × 2 - 1) × π
    -0.29742431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.934386047394135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38301583} λ = -0.38301583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.934386047394135))-π/2
    2×atan(0.392826968652059)-π/2
    2×0.374307475875299-π/2
    0.748614951750598-1.57079632675     		φ = -0.82218137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38301583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.945191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82218137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.107522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28773 KachelY 42514 -0.38301583 -0.82218137 -21.945191 -47.107522
    Oben rechts KachelX + 1 28774 KachelY 42514 -0.38291995 -0.82218137 -21.939697 -47.107522
    Unten links KachelX 28773 KachelY + 1 42515 -0.38301583 -0.82224663 -21.945191 -47.111262
    Unten rechts KachelX + 1 28774 KachelY + 1 42515 -0.38291995 -0.82224663 -21.939697 -47.111262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82218137--0.82224663) × R
    6.52599999999559e-05 × 6371000     		dl = 415.771459999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82218137--0.82224663) × R
    6.52599999999559e-05 × 6371000     		dr = 415.771459999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38301583--0.38291995) × cos(-0.82218137) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.680624685842326 × 6371000     		do = 415.760596671288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38301583--0.38291995) × cos(-0.82224663) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.680576872811342 × 6371000     		du = 415.731390010548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82218137)-sin(-0.82224663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680624685842326-0.680576872811342)×R²
    abs(-0.38291995--0.38301583)×4.78130309832236e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78130309832236e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78130309832236e-05×40589641000000     		ar = 172855.318701522m²