Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28773 / 22617
↖ ↑ ↗
← N 48.600225°
W 21.945191°		 ← 403.96 m → N 48.600225°
W 21.939697°		 →
↑
403.92 m
↓
↑
403.92 m
↓
N 48.596592°
W 21.945191°		 ← 403.99 m →
163 175 m²		 N 48.596592°
W 21.939697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439048767089844 y=0.345115661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439048767089844 × 216)
    floor (0.439048767089844 × 65536)
    floor (28773.5)     		tx = 28773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345115661621094 × 216)
    floor (0.345115661621094 × 65536)
    floor (22617.5)     		ty = 22617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28773 / 22617 ti = "16/28773/22617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28773/22617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28773 ÷ 216
    28773 ÷ 65536     		x = 0.439041137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22617 ÷ 216
    22617 ÷ 65536     		y = 0.345108032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439041137695312 × 2 - 1) × π
    -0.121917724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38301583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345108032226562 × 2 - 1) × π
    0.309783935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.97321493608638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38301583} λ = -0.38301583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.97321493608638))-π/2
    2×atan(2.6464389294632)-π/2
    2×1.20951513564597-π/2
    2.41903027129194-1.57079632675     		φ = 0.84823394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38301583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.945191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84823394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.600225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28773 KachelY 22617 -0.38301583 0.84823394 -21.945191 48.600225
    Oben rechts KachelX + 1 28774 KachelY 22617 -0.38291995 0.84823394 -21.939697 48.600225
    Unten links KachelX 28773 KachelY + 1 22618 -0.38301583 0.84817054 -21.945191 48.596592
    Unten rechts KachelX + 1 28774 KachelY + 1 22618 -0.38291995 0.84817054 -21.939697 48.596592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84823394-0.84817054) × R
    6.33999999999357e-05 × 6371000     		dl = 403.921399999591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84823394-0.84817054) × R
    6.33999999999357e-05 × 6371000     		dr = 403.921399999591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38301583--0.38291995) × cos(0.84823394) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.66130892223471 × 6371000     		do = 403.961533884246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38301583--0.38291995) × cos(0.84817054) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.661356478111909 × 6371000     		du = 403.990583462216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84823394)-sin(0.84817054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66130892223471-0.661356478111909)×R²
    abs(-0.38291995--0.38301583)×4.75558771994011e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75558771994011e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75558771994011e-05×40589641000000     		ar = 163174.575240094m²