Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28773 / 22373
↖ ↑ ↗
← N 49.478833°
W 21.945191°		 ← 396.89 m → N 49.478833°
W 21.939697°		 →
↑
396.91 m
↓
↑
396.91 m
↓
N 49.475263°
W 21.945191°		 ← 396.92 m →
157 536 m²		 N 49.475263°
W 21.939697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439048767089844 y=0.341392517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439048767089844 × 216)
    floor (0.439048767089844 × 65536)
    floor (28773.5)     		tx = 28773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341392517089844 × 216)
    floor (0.341392517089844 × 65536)
    floor (22373.5)     		ty = 22373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28773 / 22373 ti = "16/28773/22373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28773/22373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28773 ÷ 216
    28773 ÷ 65536     		x = 0.439041137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22373 ÷ 216
    22373 ÷ 65536     		y = 0.341384887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439041137695312 × 2 - 1) × π
    -0.121917724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38301583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341384887695312 × 2 - 1) × π
    0.317230224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.996608143100967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38301583} λ = -0.38301583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.996608143100967))-π/2
    2×atan(2.709077424321)-π/2
    2×1.21718243145468-π/2
    2.43436486290937-1.57079632675     		φ = 0.86356854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38301583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.945191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86356854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.478833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28773 KachelY 22373 -0.38301583 0.86356854 -21.945191 49.478833
    Oben rechts KachelX + 1 28774 KachelY 22373 -0.38291995 0.86356854 -21.939697 49.478833
    Unten links KachelX 28773 KachelY + 1 22374 -0.38301583 0.86350624 -21.945191 49.475263
    Unten rechts KachelX + 1 28774 KachelY + 1 22374 -0.38291995 0.86350624 -21.939697 49.475263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86356854-0.86350624) × R
    6.23000000000706e-05 × 6371000     		dl = 396.91330000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86356854-0.86350624) × R
    6.23000000000706e-05 × 6371000     		dr = 396.91330000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38301583--0.38291995) × cos(0.86356854) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.649728928183693 × 6371000     		do = 396.887877379792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38301583--0.38291995) × cos(0.86350624) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.649776285263435 × 6371000     		du = 396.916805522041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86356854)-sin(0.86350624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649728928183693-0.649776285263435)×R²
    abs(-0.38291995--0.38301583)×4.73570797421274e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73570797421274e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73570797421274e-05×40589641000000     		ar = 157535.818173823m²