Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28772 / 43715
↖ ↑ ↗
← S 51.409486°
W 21.950683°		 ← 380.98 m → S 51.409486°
W 21.945191°		 →
↑
380.92 m
↓
↑
380.92 m
↓
S 51.412912°
W 21.950683°		 ← 380.95 m →
145 118 m²		 S 51.412912°
W 21.945191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439033508300781 y=0.667045593261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439033508300781 × 216)
    floor (0.439033508300781 × 65536)
    floor (28772.5)     		tx = 28772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667045593261719 × 216)
    floor (0.667045593261719 × 65536)
    floor (43715.5)     		ty = 43715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28772 / 43715 ti = "16/28772/43715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28772/43715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28772 ÷ 216
    28772 ÷ 65536     		x = 0.43902587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43715 ÷ 216
    43715 ÷ 65536     		y = 0.667037963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.1219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38311170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667037963867188 × 2 - 1) × π
    -0.334075927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04953048028151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38311170} λ = -0.38311170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04953048028151))-π/2
    2×atan(0.350102090362317)-π/2
    2×0.336765765589293-π/2
    0.673531531178586-1.57079632675     		φ = -0.89726480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38311170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.950683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89726480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.409486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28772 KachelY 43715 -0.38311170 -0.89726480 -21.950683 -51.409486
    Oben rechts KachelX + 1 28773 KachelY 43715 -0.38301583 -0.89726480 -21.945191 -51.409486
    Unten links KachelX 28772 KachelY + 1 43716 -0.38311170 -0.89732459 -21.950683 -51.412912
    Unten rechts KachelX + 1 28773 KachelY + 1 43716 -0.38301583 -0.89732459 -21.945191 -51.412912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89726480--0.89732459) × R
    5.9790000000004e-05 × 6371000     		dl = 380.922090000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89726480--0.89732459) × R
    5.9790000000004e-05 × 6371000     		dr = 380.922090000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38311170--0.38301583) × cos(-0.89726480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.623750196132559 × 6371000     		do = 380.97899133286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38311170--0.38301583) × cos(-0.89732459) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.62370346173343 × 6371000     		du = 380.950446533434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89726480)-sin(-0.89732459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623750196132559-0.62370346173343)×R²
    abs(-0.38301583--0.38311170)×4.67343991289448e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67343991289448e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67343991289448e-05×40589641000000     		ar = 145117.87699522m²