Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28772 / 43564
↖ ↑ ↗
← S 50.889174°
W 21.950683°		 ← 385.30 m → S 50.889174°
W 21.945191°		 →
↑
385.32 m
↓
↑
385.32 m
↓
S 50.892639°
W 21.950683°		 ← 385.27 m →
148 457 m²		 S 50.892639°
W 21.945191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439033508300781 y=0.664741516113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439033508300781 × 216)
    floor (0.439033508300781 × 65536)
    floor (28772.5)     		tx = 28772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664741516113281 × 216)
    floor (0.664741516113281 × 65536)
    floor (43564.5)     		ty = 43564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28772 / 43564 ti = "16/28772/43564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28772/43564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28772 ÷ 216
    28772 ÷ 65536     		x = 0.43902587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43564 ÷ 216
    43564 ÷ 65536     		y = 0.66473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.1219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38311170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66473388671875 × 2 - 1) × π
    -0.3294677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03505353659625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38311170} λ = -0.38311170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03505353659625))-π/2
    2×atan(0.355207363822678)-π/2
    2×0.341306343019871-π/2
    0.682612686039742-1.57079632675     		φ = -0.88818364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38311170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.950683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88818364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.889174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28772 KachelY 43564 -0.38311170 -0.88818364 -21.950683 -50.889174
    Oben rechts KachelX + 1 28773 KachelY 43564 -0.38301583 -0.88818364 -21.945191 -50.889174
    Unten links KachelX 28772 KachelY + 1 43565 -0.38311170 -0.88824412 -21.950683 -50.892639
    Unten rechts KachelX + 1 28773 KachelY + 1 43565 -0.38301583 -0.88824412 -21.945191 -50.892639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88818364--0.88824412) × R
    6.04799999999184e-05 × 6371000     		dl = 385.31807999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88818364--0.88824412) × R
    6.04799999999184e-05 × 6371000     		dr = 385.31807999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38311170--0.38301583) × cos(-0.88818364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630822429570585 × 6371000     		do = 385.298625023391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38311170--0.38301583) × cos(-0.88824412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630775500338174 × 6371000     		du = 385.269961222179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88818364)-sin(-0.88824412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630822429570585-0.630775500338174)×R²
    abs(-0.38301583--0.38311170)×4.69292324103421e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69292324103421e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69292324103421e-05×40589641000000     		ar = 148457.00412521m²