Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28771 / 43743
↖ ↑ ↗
← S 51.505324°
W 21.956177°		 ← 380.22 m → S 51.505324°
W 21.950683°		 →
↑
380.16 m
↓
↑
380.16 m
↓
S 51.508742°
W 21.956177°		 ← 380.19 m →
144 538 m²		 S 51.508742°
W 21.950683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439018249511719 y=0.667472839355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439018249511719 × 216)
    floor (0.439018249511719 × 65536)
    floor (28771.5)     		tx = 28771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667472839355469 × 216)
    floor (0.667472839355469 × 65536)
    floor (43743.5)     		ty = 43743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28771 / 43743 ti = "16/28771/43743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28771/43743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28771 ÷ 216
    28771 ÷ 65536     		x = 0.439010620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43743 ÷ 216
    43743 ÷ 65536     		y = 0.667465209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439010620117188 × 2 - 1) × π
    -0.121978759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38320758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667465209960938 × 2 - 1) × π
    -0.334930419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.05221494666023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38320758} λ = -0.38320758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05221494666023))-π/2
    2×atan(0.349163513424379)-π/2
    2×0.33592942548927-π/2
    0.671858850978539-1.57079632675     		φ = -0.89893748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38320758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.956177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89893748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.505324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28771 KachelY 43743 -0.38320758 -0.89893748 -21.956177 -51.505324
    Oben rechts KachelX + 1 28772 KachelY 43743 -0.38311170 -0.89893748 -21.950683 -51.505324
    Unten links KachelX 28771 KachelY + 1 43744 -0.38320758 -0.89899715 -21.956177 -51.508742
    Unten rechts KachelX + 1 28772 KachelY + 1 43744 -0.38311170 -0.89899715 -21.950683 -51.508742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89893748--0.89899715) × R
    5.96700000000672e-05 × 6371000     		dl = 380.157570000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89893748--0.89899715) × R
    5.96700000000672e-05 × 6371000     		dr = 380.157570000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38320758--0.38311170) × cos(-0.89893748) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.622441917739212 × 6371000     		do = 380.219566665007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38320758--0.38311170) × cos(-0.89899715) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.62239521495124 × 6371000     		du = 380.191038197854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89893748)-sin(-0.89899715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622441917739212-0.62239521495124)×R²
    abs(-0.38311170--0.38320758)×4.67027879726967e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67027879726967e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67027879726967e-05×40589641000000     		ar = 144537.923916734m²