Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28771 / 22174
↖ ↑ ↗
← N 50.183933°
W 21.956177°		 ← 391.14 m → N 50.183933°
W 21.950683°		 →
↑
391.12 m
↓
↑
391.12 m
↓
N 50.180416°
W 21.956177°		 ← 391.17 m →
152 988 m²		 N 50.180416°
W 21.950683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439018249511719 y=0.338356018066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439018249511719 × 216)
    floor (0.439018249511719 × 65536)
    floor (28771.5)     		tx = 28771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338356018066406 × 216)
    floor (0.338356018066406 × 65536)
    floor (22174.5)     		ty = 22174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28771 / 22174 ti = "16/28771/22174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28771/22174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28771 ÷ 216
    28771 ÷ 65536     		x = 0.439010620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22174 ÷ 216
    22174 ÷ 65536     		y = 0.338348388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439010620117188 × 2 - 1) × π
    -0.121978759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38320758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338348388671875 × 2 - 1) × π
    0.32330322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01568702914975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38320758} λ = -0.38320758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01568702914975))-π/2
    2×atan(2.76125981183644)-π/2
    2×1.22333559864363-π/2
    2.44667119728726-1.57079632675     		φ = 0.87587487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38320758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.956177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87587487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.183933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28771 KachelY 22174 -0.38320758 0.87587487 -21.956177 50.183933
    Oben rechts KachelX + 1 28772 KachelY 22174 -0.38311170 0.87587487 -21.950683 50.183933
    Unten links KachelX 28771 KachelY + 1 22175 -0.38320758 0.87581348 -21.956177 50.180416
    Unten rechts KachelX + 1 28772 KachelY + 1 22175 -0.38311170 0.87581348 -21.950683 50.180416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87587487-0.87581348) × R
    6.1389999999939e-05 × 6371000     		dl = 391.115689999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87587487-0.87581348) × R
    6.1389999999939e-05 × 6371000     		dr = 391.115689999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38320758--0.38311170) × cos(0.87587487) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.640325112156499 × 6371000     		do = 391.143542441933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38320758--0.38311170) × cos(0.87581348) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.640372264854259 × 6371000     		du = 391.172345737146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87587487)-sin(0.87581348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640325112156499-0.640372264854259)×R²
    abs(-0.38311170--0.38320758)×4.71526977606773e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71526977606773e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71526977606773e-05×40589641000000     		ar = 152988.009249809m²