Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28771 / 20385
↖ ↑ ↗
← N 76.900086°
W100.978088°		 ← 69.21 m → N 76.900086°
W100.975342°		 →
↑
69.19 m
↓
↑
69.19 m
↓
N 76.899464°
W100.978088°		 ← 69.21 m →
4 789 m²		 N 76.899464°
W100.975342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219509124755859 y=0.155529022216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219509124755859 × 217)
    floor (0.219509124755859 × 131072)
    floor (28771.5)     		tx = 28771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155529022216797 × 217)
    floor (0.155529022216797 × 131072)
    floor (20385.5)     		ty = 20385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28771 / 20385 ti = "17/28771/20385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28771/20385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28771 ÷ 217
    28771 ÷ 131072     		x = 0.219505310058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20385 ÷ 217
    20385 ÷ 131072     		y = 0.155525207519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219505310058594 × 2 - 1) × π
    -0.560989379882812 × 3.1415926535     		Λ = -1.76240011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155525207519531 × 2 - 1) × π
    0.688949584960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.16439895474516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76240011} λ = -1.76240011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16439895474516))-π/2
    2×atan(8.70936562050443)-π/2
    2×1.45647801500924-π/2
    2.91295603001848-1.57079632675     		φ = 1.34215970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76240011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.978088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34215970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.900086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28771 KachelY 20385 -1.76240011 1.34215970 -100.978088 76.900086
    Oben rechts KachelX + 1 28772 KachelY 20385 -1.76235218 1.34215970 -100.975342 76.900086
    Unten links KachelX 28771 KachelY + 1 20386 -1.76240011 1.34214884 -100.978088 76.899464
    Unten rechts KachelX + 1 28772 KachelY + 1 20386 -1.76235218 1.34214884 -100.975342 76.899464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34215970-1.34214884) × R
    1.0860000000168e-05 × 6371000     		dl = 69.1890600010701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34215970-1.34214884) × R
    1.0860000000168e-05 × 6371000     		dr = 69.1890600010701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76240011--1.76235218) × cos(1.34215970) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.226649841392038 × 6371000     		do = 69.210255666693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76240011--1.76235218) × cos(1.34214884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.226660418761382 × 6371000     		du = 69.2134855936679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34215970)-sin(1.34214884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226649841392038-0.226660418761382)×R²
    abs(-1.76235218--1.76240011)×1.05773693440669e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05773693440669e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05773693440669e-05×40589641000000     		ar = 4788.70426991824m²