Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28770 / 43709
↖ ↑ ↗
← S 51.388923°
W 21.961670°		 ← 381.15 m → S 51.388923°
W 21.956177°		 →
↑
381.11 m
↓
↑
381.11 m
↓
S 51.392351°
W 21.961670°		 ← 381.12 m →
145 256 m²		 S 51.392351°
W 21.956177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439002990722656 y=0.666954040527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439002990722656 × 216)
    floor (0.439002990722656 × 65536)
    floor (28770.5)     		tx = 28770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666954040527344 × 216)
    floor (0.666954040527344 × 65536)
    floor (43709.5)     		ty = 43709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28770 / 43709 ti = "16/28770/43709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28770/43709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28770 ÷ 216
    28770 ÷ 65536     		x = 0.438995361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43709 ÷ 216
    43709 ÷ 65536     		y = 0.666946411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438995361328125 × 2 - 1) × π
    -0.12200927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38330345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666946411132812 × 2 - 1) × π
    -0.333892822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04895523748607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38330345} λ = -0.38330345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04895523748607))-π/2
    2×atan(0.350303542003714)-π/2
    2×0.336945209827812-π/2
    0.673890419655623-1.57079632675     		φ = -0.89690591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38330345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.961670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89690591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.388923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28770 KachelY 43709 -0.38330345 -0.89690591 -21.961670 -51.388923
    Oben rechts KachelX + 1 28771 KachelY 43709 -0.38320758 -0.89690591 -21.956177 -51.388923
    Unten links KachelX 28770 KachelY + 1 43710 -0.38330345 -0.89696573 -21.961670 -51.392351
    Unten rechts KachelX + 1 28771 KachelY + 1 43710 -0.38320758 -0.89696573 -21.956177 -51.392351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89690591--0.89696573) × R
    5.98200000000437e-05 × 6371000     		dl = 381.113220000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89690591--0.89696573) × R
    5.98200000000437e-05 × 6371000     		dr = 381.113220000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38330345--0.38320758) × cos(-0.89690591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624030672905466 × 6371000     		do = 381.150303115521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38330345--0.38320758) × cos(-0.89696573) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.623983928450182 × 6371000     		du = 381.121752173918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89690591)-sin(-0.89696573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624030672905466-0.623983928450182)×R²
    abs(-0.38320758--0.38330345)×4.67444552835206e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67444552835206e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67444552835206e-05×40589641000000     		ar = 145255.978797218m²