Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28770 / 43658
↖ ↑ ↗
← S 51.213766°
W 21.961670°		 ← 382.61 m → S 51.213766°
W 21.956177°		 →
↑
382.58 m
↓
↑
382.58 m
↓
S 51.217207°
W 21.961670°		 ← 382.58 m →
146 372 m²		 S 51.217207°
W 21.956177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439002990722656 y=0.666175842285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439002990722656 × 216)
    floor (0.439002990722656 × 65536)
    floor (28770.5)     		tx = 28770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666175842285156 × 216)
    floor (0.666175842285156 × 65536)
    floor (43658.5)     		ty = 43658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28770 / 43658 ti = "16/28770/43658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28770/43658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28770 ÷ 216
    28770 ÷ 65536     		x = 0.438995361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43658 ÷ 216
    43658 ÷ 65536     		y = 0.666168212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438995361328125 × 2 - 1) × π
    -0.12200927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38330345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666168212890625 × 2 - 1) × π
    -0.33233642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04406567372482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38330345} λ = -0.38330345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04406567372482))-π/2
    2×atan(0.352020567840924)-π/2
    2×0.338473744521444-π/2
    0.676947489042888-1.57079632675     		φ = -0.89384884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38330345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.961670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89384884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.213766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28770 KachelY 43658 -0.38330345 -0.89384884 -21.961670 -51.213766
    Oben rechts KachelX + 1 28771 KachelY 43658 -0.38320758 -0.89384884 -21.956177 -51.213766
    Unten links KachelX 28770 KachelY + 1 43659 -0.38330345 -0.89390889 -21.961670 -51.217207
    Unten rechts KachelX + 1 28771 KachelY + 1 43659 -0.38320758 -0.89390889 -21.956177 -51.217207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89384884--0.89390889) × R
    6.00499999999782e-05 × 6371000     		dl = 382.578549999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89384884--0.89390889) × R
    6.00499999999782e-05 × 6371000     		dr = 382.578549999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38330345--0.38320758) × cos(-0.89384884) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626416547219476 × 6371000     		do = 382.607565967275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38330345--0.38320758) × cos(-0.89390889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626369737806121 × 6371000     		du = 382.578975350077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89384884)-sin(-0.89390889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626416547219476-0.626369737806121)×R²
    abs(-0.38320758--0.38330345)×4.68094133543318e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68094133543318e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68094133543318e-05×40589641000000     		ar = 146371.978772295m²