Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28769 / 22605
↖ ↑ ↗
← N 48.643798°
W 21.967163°		 ← 403.57 m → N 48.643798°
W 21.961670°		 →
↑
403.60 m
↓
↑
403.60 m
↓
N 48.640169°
W 21.967163°		 ← 403.60 m →
162 888 m²		 N 48.640169°
W 21.961670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438987731933594 y=0.344932556152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438987731933594 × 216)
    floor (0.438987731933594 × 65536)
    floor (28769.5)     		tx = 28769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344932556152344 × 216)
    floor (0.344932556152344 × 65536)
    floor (22605.5)     		ty = 22605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28769 / 22605 ti = "16/28769/22605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28769/22605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28769 ÷ 216
    28769 ÷ 65536     		x = 0.438980102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22605 ÷ 216
    22605 ÷ 65536     		y = 0.344924926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438980102539062 × 2 - 1) × π
    -0.122039794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38339932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344924926757812 × 2 - 1) × π
    0.310150146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.974365421677261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38339932} λ = -0.38339932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.974365421677261))-π/2
    2×atan(2.64948537142646)-π/2
    2×1.20989538470032-π/2
    2.41979076940064-1.57079632675     		φ = 0.84899444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38339932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.967163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84899444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.643798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28769 KachelY 22605 -0.38339932 0.84899444 -21.967163 48.643798
    Oben rechts KachelX + 1 28770 KachelY 22605 -0.38330345 0.84899444 -21.961670 48.643798
    Unten links KachelX 28769 KachelY + 1 22606 -0.38339932 0.84893109 -21.967163 48.640169
    Unten rechts KachelX + 1 28770 KachelY + 1 22606 -0.38330345 0.84893109 -21.961670 48.640169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84899444-0.84893109) × R
    6.33500000000176e-05 × 6371000     		dl = 403.602850000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84899444-0.84893109) × R
    6.33500000000176e-05 × 6371000     		dr = 403.602850000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38339932--0.38330345) × cos(0.84899444) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660738269610609 × 6371000     		do = 403.570854249114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38339932--0.38330345) × cos(0.84893109) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.660785819831948 × 6371000     		du = 403.599897342768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84899444)-sin(0.84893109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660738269610609-0.660785819831948)×R²
    abs(-0.38330345--0.38339932)×4.75502213383994e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75502213383994e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75502213383994e-05×40589641000000     		ar = 162888.207944139m²