Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28769 / 22179
↖ ↑ ↗
← N 50.166343°
W 21.967163°		 ← 391.25 m → N 50.166343°
W 21.961670°		 →
↑
391.24 m
↓
↑
391.24 m
↓
N 50.162825°
W 21.967163°		 ← 391.28 m →
153 078 m²		 N 50.162825°
W 21.961670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438987731933594 y=0.338432312011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438987731933594 × 216)
    floor (0.438987731933594 × 65536)
    floor (28769.5)     		tx = 28769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338432312011719 × 216)
    floor (0.338432312011719 × 65536)
    floor (22179.5)     		ty = 22179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28769 / 22179 ti = "16/28769/22179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28769/22179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28769 ÷ 216
    28769 ÷ 65536     		x = 0.438980102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22179 ÷ 216
    22179 ÷ 65536     		y = 0.338424682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438980102539062 × 2 - 1) × π
    -0.122039794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38339932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338424682617188 × 2 - 1) × π
    0.323150634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01520766015355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38339932} λ = -0.38339932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01520766015355))-π/2
    2×atan(2.75993646670285)-π/2
    2×1.2231820943842-π/2
    2.4463641887684-1.57079632675     		φ = 0.87556786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38339932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.967163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87556786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.166343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28769 KachelY 22179 -0.38339932 0.87556786 -21.967163 50.166343
    Oben rechts KachelX + 1 28770 KachelY 22179 -0.38330345 0.87556786 -21.961670 50.166343
    Unten links KachelX 28769 KachelY + 1 22180 -0.38339932 0.87550645 -21.967163 50.162825
    Unten rechts KachelX + 1 28770 KachelY + 1 22180 -0.38330345 0.87550645 -21.961670 50.162825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87556786-0.87550645) × R
    6.14099999999285e-05 × 6371000     		dl = 391.243109999544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87556786-0.87550645) × R
    6.14099999999285e-05 × 6371000     		dr = 391.243109999544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38339932--0.38330345) × cos(0.87556786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.640560897584054 × 6371000     		do = 391.246762184554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38339932--0.38330345) × cos(0.87550645) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.640608053568081 × 6371000     		du = 391.27556448288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87556786)-sin(0.87550645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640560897584054-0.640608053568081)×R²
    abs(-0.38330345--0.38339932)×4.71559840274915e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71559840274915e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71559840274915e-05×40589641000000     		ar = 153078.234412871m²