Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28768 / 20449
↖ ↑ ↗
← N 76.860186°
W100.986328°		 ← 69.43 m → N 76.860186°
W100.983582°		 →
↑
69.44 m
↓
↑
69.44 m
↓
N 76.859562°
W100.986328°		 ← 69.44 m →
4 822 m²		 N 76.859562°
W100.983582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219486236572266 y=0.156017303466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219486236572266 × 217)
    floor (0.219486236572266 × 131072)
    floor (28768.5)     		tx = 28768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156017303466797 × 217)
    floor (0.156017303466797 × 131072)
    floor (20449.5)     		ty = 20449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28768 / 20449 ti = "17/28768/20449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28768/20449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28768 ÷ 217
    28768 ÷ 131072     		x = 0.219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20449 ÷ 217
    20449 ÷ 131072     		y = 0.156013488769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.56103515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.76254393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156013488769531 × 2 - 1) × π
    0.687973022460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.16133099316947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76254393} λ = -1.76254393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16133099316947))-π/2
    2×atan(8.682686567513)-π/2
    2×1.45612981857226-π/2
    2.91225963714452-1.57079632675     		φ = 1.34146331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76254393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.986328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34146331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.860186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28768 KachelY 20449 -1.76254393 1.34146331 -100.986328 76.860186
    Oben rechts KachelX + 1 28769 KachelY 20449 -1.76249599 1.34146331 -100.983582 76.860186
    Unten links KachelX 28768 KachelY + 1 20450 -1.76254393 1.34145241 -100.986328 76.859562
    Unten rechts KachelX + 1 28769 KachelY + 1 20450 -1.76249599 1.34145241 -100.983582 76.859562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34146331-1.34145241) × R
    1.08999999999249e-05 × 6371000     		dl = 69.4438999995213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34146331-1.34145241) × R
    1.08999999999249e-05 × 6371000     		dr = 69.4438999995213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76254393--1.76249599) × cos(1.34146331) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.227328053740707 × 6371000     		do = 69.4318390367911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76254393--1.76249599) × cos(1.34145241) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.22733866834597 × 6371000     		du = 69.4350810104585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34146331)-sin(1.34145241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227328053740707-0.22733866834597)×R²
    abs(-1.76249599--1.76254393)×1.06146052633316e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.06146052633316e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.06146052633316e-05×40589641000000     		ar = 4821.73025457267m²