Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28766 / 43629
↖ ↑ ↗
← S 51.113869°
W 21.983642°		 ← 383.44 m → S 51.113869°
W 21.978149°		 →
↑
383.41 m
↓
↑
383.41 m
↓
S 51.117317°
W 21.983642°		 ← 383.41 m →
147 007 m²		 S 51.117317°
W 21.978149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438941955566406 y=0.665733337402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438941955566406 × 216)
    floor (0.438941955566406 × 65536)
    floor (28766.5)     		tx = 28766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665733337402344 × 216)
    floor (0.665733337402344 × 65536)
    floor (43629.5)     		ty = 43629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28766 / 43629 ti = "16/28766/43629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28766/43629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28766 ÷ 216
    28766 ÷ 65536     		x = 0.438934326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43629 ÷ 216
    43629 ÷ 65536     		y = 0.665725708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438934326171875 × 2 - 1) × π
    -0.12213134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38368694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665725708007812 × 2 - 1) × π
    -0.331451416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04128533354686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38368694} λ = -0.38368694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04128533354686))-π/2
    2×atan(0.353000666641829)-π/2
    2×0.339345513957055-π/2
    0.67869102791411-1.57079632675     		φ = -0.89210530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38368694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.983642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89210530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.113869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28766 KachelY 43629 -0.38368694 -0.89210530 -21.983642 -51.113869
    Oben rechts KachelX + 1 28767 KachelY 43629 -0.38359107 -0.89210530 -21.978149 -51.113869
    Unten links KachelX 28766 KachelY + 1 43630 -0.38368694 -0.89216548 -21.983642 -51.117317
    Unten rechts KachelX + 1 28767 KachelY + 1 43630 -0.38359107 -0.89216548 -21.978149 -51.117317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89210530--0.89216548) × R
    6.01799999999653e-05 × 6371000     		dl = 383.406779999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89210530--0.89216548) × R
    6.01799999999653e-05 × 6371000     		dr = 383.406779999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38368694--0.38359107) × cos(-0.89210530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627774663764944 × 6371000     		do = 383.437086943481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38368694--0.38359107) × cos(-0.89216548) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.62772781880953 × 6371000     		du = 383.408474617628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89210530)-sin(-0.89216548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627774663764944-0.62772781880953)×R²
    abs(-0.38359107--0.38368694)×4.68449554139605e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68449554139605e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68449554139605e-05×40589641000000     		ar = 147006.893802048m²