Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28765 / 42858
↖ ↑ ↗
← S 48.378145°
W 21.989136°		 ← 405.73 m → S 48.378145°
W 21.983642°		 →
↑
405.71 m
↓
↑
405.71 m
↓
S 48.381794°
W 21.989136°		 ← 405.71 m →
164 603 m²		 S 48.381794°
W 21.983642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438926696777344 y=0.653968811035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438926696777344 × 216)
    floor (0.438926696777344 × 65536)
    floor (28765.5)     		tx = 28765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653968811035156 × 216)
    floor (0.653968811035156 × 65536)
    floor (42858.5)     		ty = 42858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28765 / 42858 ti = "16/28765/42858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28765/42858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28765 ÷ 216
    28765 ÷ 65536     		x = 0.438919067382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42858 ÷ 216
    42858 ÷ 65536     		y = 0.653961181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438919067382812 × 2 - 1) × π
    -0.122161865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38378282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653961181640625 × 2 - 1) × π
    -0.30792236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.967366634332733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38378282} λ = -0.38378282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967366634332733))-π/2
    2×atan(0.380082617912918)-π/2
    2×0.363219201178564-π/2
    0.726438402357128-1.57079632675     		φ = -0.84435792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38378282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.989136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84435792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.378145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28765 KachelY 42858 -0.38378282 -0.84435792 -21.989136 -48.378145
    Oben rechts KachelX + 1 28766 KachelY 42858 -0.38368694 -0.84435792 -21.983642 -48.378145
    Unten links KachelX 28765 KachelY + 1 42859 -0.38378282 -0.84442160 -21.989136 -48.381794
    Unten rechts KachelX + 1 28766 KachelY + 1 42859 -0.38368694 -0.84442160 -21.983642 -48.381794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84435792--0.84442160) × R
    6.36800000000104e-05 × 6371000     		dl = 405.705280000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84435792--0.84442160) × R
    6.36800000000104e-05 × 6371000     		dr = 405.705280000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38378282--0.38368694) × cos(-0.84435792) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.664211402928441 × 6371000     		do = 405.734518511918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38378282--0.38368694) × cos(-0.84442160) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.664163797929546 × 6371000     		du = 405.705438927888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84435792)-sin(-0.84442160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664211402928441-0.664163797929546)×R²
    abs(-0.38368694--0.38378282)×4.76049988953342e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.76049988953342e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.76049988953342e-05×40589641000000     		ar = 164602.737623529m²