Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28765 / 42476
↖ ↑ ↗
← S 46.965259°
W 21.989136°		 ← 416.87 m → S 46.965259°
W 21.983642°		 →
↑
416.85 m
↓
↑
416.85 m
↓
S 46.969008°
W 21.989136°		 ← 416.84 m →
173 768 m²		 S 46.969008°
W 21.983642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438926696777344 y=0.648139953613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438926696777344 × 216)
    floor (0.438926696777344 × 65536)
    floor (28765.5)     		tx = 28765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648139953613281 × 216)
    floor (0.648139953613281 × 65536)
    floor (42476.5)     		ty = 42476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28765 / 42476 ti = "16/28765/42476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28765/42476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28765 ÷ 216
    28765 ÷ 65536     		x = 0.438919067382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42476 ÷ 216
    42476 ÷ 65536     		y = 0.64813232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438919067382812 × 2 - 1) × π
    -0.122161865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38378282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64813232421875 × 2 - 1) × π
    -0.2962646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.93074284302301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38378282} λ = -0.38378282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93074284302301))-π/2
    2×atan(0.394260727734176)-π/2
    2×0.375548958111869-π/2
    0.751097916223739-1.57079632675     		φ = -0.81969841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38378282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.989136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81969841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.965259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28765 KachelY 42476 -0.38378282 -0.81969841 -21.989136 -46.965259
    Oben rechts KachelX + 1 28766 KachelY 42476 -0.38368694 -0.81969841 -21.983642 -46.965259
    Unten links KachelX 28765 KachelY + 1 42477 -0.38378282 -0.81976384 -21.989136 -46.969008
    Unten rechts KachelX + 1 28766 KachelY + 1 42477 -0.38368694 -0.81976384 -21.983642 -46.969008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81969841--0.81976384) × R
    6.5430000000033e-05 × 6371000     		dl = 416.85453000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81969841--0.81976384) × R
    6.5430000000033e-05 × 6371000     		dr = 416.85453000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38378282--0.38368694) × cos(-0.81969841) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.682441682528822 × 6371000     		do = 416.870511786631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38378282--0.38368694) × cos(-0.81976384) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.682393855660891 × 6371000     		du = 416.841296673571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81969841)-sin(-0.81976384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682441682528822-0.682393855660891)×R²
    abs(-0.38368694--0.38378282)×4.78268679308114e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78268679308114e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78268679308114e-05×40589641000000     		ar = 173768.27209779m²