Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28763 / 4557
↖ ↑ ↗
← N 78.177337°
E135.999756°		 ← 250.29 m → N 78.177337°
E136.010742°		 →
↑
250.32 m
↓
↑
250.32 m
↓
N 78.175086°
E135.999756°		 ← 250.34 m →
62 658 m²		 N 78.175086°
E136.010742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877792358398438 y=0.139083862304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877792358398438 × 215)
    floor (0.877792358398438 × 32768)
    floor (28763.5)     		tx = 28763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139083862304688 × 215)
    floor (0.139083862304688 × 32768)
    floor (4557.5)     		ty = 4557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28763 / 4557 ti = "15/28763/4557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28763/4557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28763 ÷ 215
    28763 ÷ 32768     		x = 0.877777099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4557 ÷ 215
    4557 ÷ 32768     		y = 0.139068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.877777099609375 × 2 - 1) × π
    0.75555419921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.37364352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139068603515625 × 2 - 1) × π
    0.72186279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26779884722562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37364352} λ = 2.37364352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26779884722562))-π/2
    2×atan(9.65811840562567)-π/2
    2×1.46762412801218-π/2
    2.93524825602435-1.57079632675     		φ = 1.36445193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37364352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.999756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36445193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.177337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28763 KachelY 4557 2.37364352 1.36445193 135.999756 78.177337
    Oben rechts KachelX + 1 28764 KachelY 4557 2.37383527 1.36445193 136.010742 78.177337
    Unten links KachelX 28763 KachelY + 1 4558 2.37364352 1.36441264 135.999756 78.175086
    Unten rechts KachelX + 1 28764 KachelY + 1 4558 2.37383527 1.36441264 136.010742 78.175086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36445193-1.36441264) × R
    3.92899999999141e-05 × 6371000     		dl = 250.316589999453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36445193-1.36441264) × R
    3.92899999999141e-05 × 6371000     		dr = 250.316589999453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37364352-2.37383527) × cos(1.36445193) × R
    0.000191749999999935 × 0.204883221993983 × 6371000     		do = 250.293385654228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37364352-2.37383527) × cos(1.36441264) × R
    0.000191749999999935 × 0.204921678354463 × 6371000     		du = 250.340365453603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36445193)-sin(1.36441264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204883221993983-0.204921678354463)×R²
    abs(2.37383527-2.37364352)×3.84563604803323e-05×R²
    0.000191749999999935×3.84563604803323e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.84563604803323e-05×40589641000000     		ar = 62658.466715337m²