Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28763 / 42523
↖ ↑ ↗
← S 47.141161°
W 22.000122°		 ← 415.50 m → S 47.141161°
W 21.994629°		 →
↑
415.45 m
↓
↑
415.45 m
↓
S 47.144898°
W 22.000122°		 ← 415.47 m →
172 614 m²		 S 47.144898°
W 21.994629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438896179199219 y=0.648857116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438896179199219 × 216)
    floor (0.438896179199219 × 65536)
    floor (28763.5)     		tx = 28763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648857116699219 × 216)
    floor (0.648857116699219 × 65536)
    floor (42523.5)     		ty = 42523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28763 / 42523 ti = "16/28763/42523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28763/42523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28763 ÷ 216
    28763 ÷ 65536     		x = 0.438888549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42523 ÷ 216
    42523 ÷ 65536     		y = 0.648849487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438888549804688 × 2 - 1) × π
    -0.122222900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38397457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648849487304688 × 2 - 1) × π
    -0.297698974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.935248911587296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38397457} λ = -0.38397457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935248911587296))-π/2
    2×atan(0.392488158521287)-π/2
    2×0.374013925354108-π/2
    0.748027850708216-1.57079632675     		φ = -0.82276848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38397457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.000122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82276848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.141161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28763 KachelY 42523 -0.38397457 -0.82276848 -22.000122 -47.141161
    Oben rechts KachelX + 1 28764 KachelY 42523 -0.38387869 -0.82276848 -21.994629 -47.141161
    Unten links KachelX 28763 KachelY + 1 42524 -0.38397457 -0.82283369 -22.000122 -47.144898
    Unten rechts KachelX + 1 28764 KachelY + 1 42524 -0.38387869 -0.82283369 -21.994629 -47.144898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82276848--0.82283369) × R
    6.52099999999267e-05 × 6371000     		dl = 415.452909999533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82276848--0.82283369) × R
    6.52099999999267e-05 × 6371000     		dr = 415.452909999533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38397457--0.38387869) × cos(-0.82276848) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.680194432832378 × 6371000     		do = 415.497775983387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38397457--0.38387869) × cos(-0.82283369) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.680146630386361 × 6371000     		du = 415.46857578849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82276848)-sin(-0.82283369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680194432832378-0.680146630386361)×R²
    abs(-0.38387869--0.38397457)×4.78024460173199e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78024460173199e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78024460173199e-05×40589641000000     		ar = 172613.694538906m²