Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28762 / 43626
↖ ↑ ↗
← S 51.103522°
W 22.005615°		 ← 383.52 m → S 51.103522°
W 22.000122°		 →
↑
383.53 m
↓
↑
383.53 m
↓
S 51.106971°
W 22.005615°		 ← 383.49 m →
147 089 m²		 S 51.106971°
W 22.000122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438880920410156 y=0.665687561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438880920410156 × 216)
    floor (0.438880920410156 × 65536)
    floor (28762.5)     		tx = 28762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665687561035156 × 216)
    floor (0.665687561035156 × 65536)
    floor (43626.5)     		ty = 43626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28762 / 43626 ti = "16/28762/43626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28762/43626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28762 ÷ 216
    28762 ÷ 65536     		x = 0.438873291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43626 ÷ 216
    43626 ÷ 65536     		y = 0.665679931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438873291015625 × 2 - 1) × π
    -0.12225341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38407044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665679931640625 × 2 - 1) × π
    -0.33135986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04099771214914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38407044} λ = -0.38407044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04099771214914))-π/2
    2×atan(0.353102211789543)-π/2
    2×0.339435804776729-π/2
    0.678871609553459-1.57079632675     		φ = -0.89192472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38407044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.005615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89192472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.103522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28762 KachelY 43626 -0.38407044 -0.89192472 -22.005615 -51.103522
    Oben rechts KachelX + 1 28763 KachelY 43626 -0.38397457 -0.89192472 -22.000122 -51.103522
    Unten links KachelX 28762 KachelY + 1 43627 -0.38407044 -0.89198492 -22.005615 -51.106971
    Unten rechts KachelX + 1 28763 KachelY + 1 43627 -0.38397457 -0.89198492 -22.000122 -51.106971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89192472--0.89198492) × R
    6.01999999999547e-05 × 6371000     		dl = 383.534199999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89192472--0.89198492) × R
    6.01999999999547e-05 × 6371000     		dr = 383.534199999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38407044--0.38397457) × cos(-0.89192472) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627915216120363 × 6371000     		do = 383.522934603216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38407044--0.38397457) × cos(-0.89198492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627868362421286 × 6371000     		du = 383.494316936841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89192472)-sin(-0.89198492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627915216120363-0.627868362421286)×R²
    abs(-0.38397457--0.38407044)×4.68536990771984e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68536990771984e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68536990771984e-05×40589641000000     		ar = 147088.674022321m²