Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28761 / 22612
↖ ↑ ↗
← N 48.618385°
W 22.011108°		 ← 403.77 m → N 48.618385°
W 22.005615°		 →
↑
403.79 m
↓
↑
403.79 m
↓
N 48.614754°
W 22.011108°		 ← 403.80 m →
163 047 m²		 N 48.614754°
W 22.005615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438865661621094 y=0.345039367675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438865661621094 × 216)
    floor (0.438865661621094 × 65536)
    floor (28761.5)     		tx = 28761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345039367675781 × 216)
    floor (0.345039367675781 × 65536)
    floor (22612.5)     		ty = 22612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28761 / 22612 ti = "16/28761/22612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28761/22612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28761 ÷ 216
    28761 ÷ 65536     		x = 0.438858032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22612 ÷ 216
    22612 ÷ 65536     		y = 0.34503173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438858032226562 × 2 - 1) × π
    -0.122283935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38416631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34503173828125 × 2 - 1) × π
    0.3099365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.973694305082581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38416631} λ = -0.38416631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.973694305082581))-π/2
    2×atan(2.64770785435365)-π/2
    2×1.20967361264524-π/2
    2.41934722529048-1.57079632675     		φ = 0.84855090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38416631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.011108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84855090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.618385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28761 KachelY 22612 -0.38416631 0.84855090 -22.011108 48.618385
    Oben rechts KachelX + 1 28762 KachelY 22612 -0.38407044 0.84855090 -22.005615 48.618385
    Unten links KachelX 28761 KachelY + 1 22613 -0.38416631 0.84848752 -22.011108 48.614754
    Unten rechts KachelX + 1 28762 KachelY + 1 22613 -0.38407044 0.84848752 -22.005615 48.614754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84855090-0.84848752) × R
    6.33799999999463e-05 × 6371000     		dl = 403.793979999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84855090-0.84848752) × R
    6.33799999999463e-05 × 6371000     		dr = 403.793979999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38416631--0.38407044) × cos(0.84855090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661071132992903 × 6371000     		do = 403.774163132099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38416631--0.38407044) × cos(0.84848752) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661118687151741 × 6371000     		du = 403.803208630731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84855090)-sin(0.84848752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661071132992903-0.661118687151741)×R²
    abs(-0.38407044--0.38416631)×4.75541588389472e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75541588389472e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75541588389472e-05×40589641000000     		ar = 163047.440605099m²