Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28760 / 43744
↖ ↑ ↗
← S 51.508742°
W 22.016602°		 ← 380.19 m → S 51.508742°
W 22.011108°		 →
↑
380.16 m
↓
↑
380.16 m
↓
S 51.512161°
W 22.016602°		 ← 380.16 m →
144 527 m²		 S 51.512161°
W 22.011108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438850402832031 y=0.667488098144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438850402832031 × 216)
    floor (0.438850402832031 × 65536)
    floor (28760.5)     		tx = 28760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667488098144531 × 216)
    floor (0.667488098144531 × 65536)
    floor (43744.5)     		ty = 43744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28760 / 43744 ti = "16/28760/43744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28760/43744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28760 ÷ 216
    28760 ÷ 65536     		x = 0.4388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43744 ÷ 216
    43744 ÷ 65536     		y = 0.66748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.122314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38426219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66748046875 × 2 - 1) × π
    -0.3349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05231082045947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38426219} λ = -0.38426219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05231082045947))-π/2
    2×atan(0.349130039396458)-π/2
    2×0.335899588672849-π/2
    0.671799177345699-1.57079632675     		φ = -0.89899715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38426219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.016602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89899715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.508742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28760 KachelY 43744 -0.38426219 -0.89899715 -22.016602 -51.508742
    Oben rechts KachelX + 1 28761 KachelY 43744 -0.38416631 -0.89899715 -22.011108 -51.508742
    Unten links KachelX 28760 KachelY + 1 43745 -0.38426219 -0.89905682 -22.016602 -51.512161
    Unten rechts KachelX + 1 28761 KachelY + 1 43745 -0.38416631 -0.89905682 -22.011108 -51.512161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89899715--0.89905682) × R
    5.96699999999561e-05 × 6371000     		dl = 380.157569999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89899715--0.89905682) × R
    5.96699999999561e-05 × 6371000     		dr = 380.157569999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38426219--0.38416631) × cos(-0.89899715) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.62239521495124 × 6371000     		do = 380.191038197854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38426219--0.38416631) × cos(-0.89905682) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.622348509947223 × 6371000     		du = 380.162508377027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89899715)-sin(-0.89905682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62239521495124-0.622348509947223)×R²
    abs(-0.38416631--0.38426219)×4.67050040163786e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67050040163786e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67050040163786e-05×40589641000000     		ar = 144527.078345948m²