Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28759 / 42888
↖ ↑ ↗
← S 48.487487°
W 22.022095°		 ← 404.82 m → S 48.487487°
W 22.016602°		 →
↑
404.81 m
↓
↑
404.81 m
↓
S 48.491127°
W 22.022095°		 ← 404.79 m →
163 871 m²		 S 48.491127°
W 22.016602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438835144042969 y=0.654426574707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438835144042969 × 216)
    floor (0.438835144042969 × 65536)
    floor (28759.5)     		tx = 28759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654426574707031 × 216)
    floor (0.654426574707031 × 65536)
    floor (42888.5)     		ty = 42888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28759 / 42888 ti = "16/28759/42888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28759/42888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28759 ÷ 216
    28759 ÷ 65536     		x = 0.438827514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42888 ÷ 216
    42888 ÷ 65536     		y = 0.6544189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438827514648438 × 2 - 1) × π
    -0.122344970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38435806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6544189453125 × 2 - 1) × π
    -0.308837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.970242848309937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38435806} λ = -0.38435806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970242848309937))-π/2
    2×atan(0.378990989605633)-π/2
    2×0.362265020861532-π/2
    0.724530041723063-1.57079632675     		φ = -0.84626629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38435806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.022095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84626629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.487487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28759 KachelY 42888 -0.38435806 -0.84626629 -22.022095 -48.487487
    Oben rechts KachelX + 1 28760 KachelY 42888 -0.38426219 -0.84626629 -22.016602 -48.487487
    Unten links KachelX 28759 KachelY + 1 42889 -0.38435806 -0.84632983 -22.022095 -48.491127
    Unten rechts KachelX + 1 28760 KachelY + 1 42889 -0.38426219 -0.84632983 -22.016602 -48.491127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84626629--0.84632983) × R
    6.35399999999731e-05 × 6371000     		dl = 404.813339999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84626629--0.84632983) × R
    6.35399999999731e-05 × 6371000     		dr = 404.813339999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38435806--0.38426219) × cos(-0.84626629) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662783602257093 × 6371000     		do = 404.820118415168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38435806--0.38426219) × cos(-0.84632983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662736021468973 × 6371000     		du = 404.791056651697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84626629)-sin(-0.84632983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662783602257093-0.662736021468973)×R²
    abs(-0.38426219--0.38435806)×4.75807881192836e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75807881192836e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75807881192836e-05×40589641000000     		ar = 163870.701995095m²