Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28758 / 43741
↖ ↑ ↗
← S 51.498485°
W 22.027588°		 ← 380.24 m → S 51.498485°
W 22.022095°		 →
↑
380.22 m
↓
↑
380.22 m
↓
S 51.501904°
W 22.027588°		 ← 380.21 m →
144 569 m²		 S 51.501904°
W 22.022095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438819885253906 y=0.667442321777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438819885253906 × 216)
    floor (0.438819885253906 × 65536)
    floor (28758.5)     		tx = 28758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667442321777344 × 216)
    floor (0.667442321777344 × 65536)
    floor (43741.5)     		ty = 43741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28758 / 43741 ti = "16/28758/43741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28758/43741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28758 ÷ 216
    28758 ÷ 65536     		x = 0.438812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43741 ÷ 216
    43741 ÷ 65536     		y = 0.667434692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438812255859375 × 2 - 1) × π
    -0.12237548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38445393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667434692382812 × 2 - 1) × π
    -0.334869384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05202319906175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38445393} λ = -0.38445393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05202319906175))-π/2
    2×atan(0.349230471108838)-π/2
    2×0.335989105839034-π/2
    0.671978211678068-1.57079632675     		φ = -0.89881812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38445393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.027588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89881812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.498485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28758 KachelY 43741 -0.38445393 -0.89881812 -22.027588 -51.498485
    Oben rechts KachelX + 1 28759 KachelY 43741 -0.38435806 -0.89881812 -22.022095 -51.498485
    Unten links KachelX 28758 KachelY + 1 43742 -0.38445393 -0.89887780 -22.027588 -51.501904
    Unten rechts KachelX + 1 28759 KachelY + 1 43742 -0.38435806 -0.89887780 -22.022095 -51.501904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89881812--0.89887780) × R
    5.96799999998954e-05 × 6371000     		dl = 380.221279999333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89881812--0.89887780) × R
    5.96799999998954e-05 × 6371000     		dr = 380.221279999333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38445393--0.38435806) × cos(-0.89881812) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622535332318195 × 6371000     		do = 380.236967372831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38445393--0.38435806) × cos(-0.89887780) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.622488626137264 × 6371000     		du = 380.208439808735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89881812)-sin(-0.89887780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622535332318195-0.622488626137264)×R²
    abs(-0.38435806--0.38445393)×4.67061809319436e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67061809319436e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67061809319436e-05×40589641000000     		ar = 144568.763086806m²