Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28758 / 40662
↖ ↑ ↗
← S 39.732538°
W 22.027588°		 ← 469.72 m → S 39.732538°
W 22.022095°		 →
↑
469.73 m
↓
↑
469.73 m
↓
S 39.736763°
W 22.027588°		 ← 469.69 m →
220 636 m²		 S 39.736763°
W 22.022095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438819885253906 y=0.620460510253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438819885253906 × 216)
    floor (0.438819885253906 × 65536)
    floor (28758.5)     		tx = 28758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620460510253906 × 216)
    floor (0.620460510253906 × 65536)
    floor (40662.5)     		ty = 40662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28758 / 40662 ti = "16/28758/40662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28758/40662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28758 ÷ 216
    28758 ÷ 65536     		x = 0.438812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40662 ÷ 216
    40662 ÷ 65536     		y = 0.620452880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438812255859375 × 2 - 1) × π
    -0.12237548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38445393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620452880859375 × 2 - 1) × π
    -0.24090576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.756827771201447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38445393} λ = -0.38445393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756827771201447))-π/2
    2×atan(0.469152327479862)-π/2
    2×0.43866635940518-π/2
    0.87733271881036-1.57079632675     		φ = -0.69346361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38445393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.027588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69346361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.732538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28758 KachelY 40662 -0.38445393 -0.69346361 -22.027588 -39.732538
    Oben rechts KachelX + 1 28759 KachelY 40662 -0.38435806 -0.69346361 -22.022095 -39.732538
    Unten links KachelX 28758 KachelY + 1 40663 -0.38445393 -0.69353734 -22.027588 -39.736763
    Unten rechts KachelX + 1 28759 KachelY + 1 40663 -0.38435806 -0.69353734 -22.022095 -39.736763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69346361--0.69353734) × R
    7.37299999999941e-05 × 6371000     		dl = 469.733829999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69346361--0.69353734) × R
    7.37299999999941e-05 × 6371000     		dr = 469.733829999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38445393--0.38435806) × cos(-0.69346361) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769036676697447 × 6371000     		do = 469.718196808234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38445393--0.38435806) × cos(-0.69353734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.768989546048054 × 6371000     		du = 469.689409983993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69346361)-sin(-0.69353734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769036676697447-0.768989546048054)×R²
    abs(-0.38435806--0.38445393)×4.71306493933232e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71306493933232e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71306493933232e-05×40589641000000     		ar = 220635.766634545m²