Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28757 / 42877
↖ ↑ ↗
← S 48.447422°
W 22.033081°		 ← 405.18 m → S 48.447422°
W 22.027588°		 →
↑
405.13 m
↓
↑
405.13 m
↓
S 48.451066°
W 22.033081°		 ← 405.15 m →
164 146 m²		 S 48.451066°
W 22.027588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438804626464844 y=0.654258728027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438804626464844 × 216)
    floor (0.438804626464844 × 65536)
    floor (28757.5)     		tx = 28757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654258728027344 × 216)
    floor (0.654258728027344 × 65536)
    floor (42877.5)     		ty = 42877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28757 / 42877 ti = "16/28757/42877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28757/42877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28757 ÷ 216
    28757 ÷ 65536     		x = 0.438796997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42877 ÷ 216
    42877 ÷ 65536     		y = 0.654251098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438796997070312 × 2 - 1) × π
    -0.122406005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38454981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654251098632812 × 2 - 1) × π
    -0.308502197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.969188236518295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38454981} λ = -0.38454981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969188236518295))-π/2
    2×atan(0.379390888804338)-π/2
    2×0.362614648569312-π/2
    0.725229297138623-1.57079632675     		φ = -0.84556703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38454981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.033081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84556703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.447422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28757 KachelY 42877 -0.38454981 -0.84556703 -22.033081 -48.447422
    Oben rechts KachelX + 1 28758 KachelY 42877 -0.38445393 -0.84556703 -22.027588 -48.447422
    Unten links KachelX 28757 KachelY + 1 42878 -0.38454981 -0.84563062 -22.033081 -48.451066
    Unten rechts KachelX + 1 28758 KachelY + 1 42878 -0.38445393 -0.84563062 -22.027588 -48.451066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84556703--0.84563062) × R
    6.35900000000023e-05 × 6371000     		dl = 405.131890000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84556703--0.84563062) × R
    6.35900000000023e-05 × 6371000     		dr = 405.131890000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38454981--0.38445393) × cos(-0.84556703) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.663307053747442 × 6371000     		do = 405.182095476033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38454981--0.38445393) × cos(-0.84563062) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.663259464998546 × 6371000     		du = 405.153025818339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84556703)-sin(-0.84563062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663307053747442-0.663259464998546)×R²
    abs(-0.38445393--0.38454981)×4.75887488962101e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75887488962101e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75887488962101e-05×40589641000000     		ar = 164146.299666632m²