Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28757 / 20557
↖ ↑ ↗
← N 76.792583°
W101.016540°		 ← 69.78 m → N 76.792583°
W101.013794°		 →
↑
69.76 m
↓
↑
69.76 m
↓
N 76.791956°
W101.016540°		 ← 69.79 m →
4 868 m²		 N 76.791956°
W101.013794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219402313232422 y=0.156841278076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219402313232422 × 217)
    floor (0.219402313232422 × 131072)
    floor (28757.5)     		tx = 28757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156841278076172 × 217)
    floor (0.156841278076172 × 131072)
    floor (20557.5)     		ty = 20557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28757 / 20557 ti = "17/28757/20557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28757/20557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28757 ÷ 217
    28757 ÷ 131072     		x = 0.219398498535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20557 ÷ 217
    20557 ÷ 131072     		y = 0.156837463378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219398498535156 × 2 - 1) × π
    -0.561203002929688 × 3.1415926535     		Λ = -1.76307123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156837463378906 × 2 - 1) × π
    0.686325073242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.15615380801051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76307123} λ = -1.76307123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15615380801051))-π/2
    2×atan(8.63785085301874)-π/2
    2×1.45553987310054-π/2
    2.91107974620108-1.57079632675     		φ = 1.34028342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76307123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.016540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34028342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.792583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28757 KachelY 20557 -1.76307123 1.34028342 -101.016540 76.792583
    Oben rechts KachelX + 1 28758 KachelY 20557 -1.76302329 1.34028342 -101.013794 76.792583
    Unten links KachelX 28757 KachelY + 1 20558 -1.76307123 1.34027247 -101.016540 76.791956
    Unten rechts KachelX + 1 28758 KachelY + 1 20558 -1.76302329 1.34027247 -101.013794 76.791956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34028342-1.34027247) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dl = 69.7624500004146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34028342-1.34027247) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dr = 69.7624500004146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76307123--1.76302329) × cos(1.34028342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228476893635844 × 6371000     		do = 69.7827243115833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76307123--1.76302329) × cos(1.34027247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228487553987373 × 6371000     		du = 69.7859802573376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34028342)-sin(1.34027247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228476893635844-0.228487553987373)×R²
    abs(-1.76302329--1.76307123)×1.06603515284687e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06603515284687e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06603515284687e-05×40589641000000     		ar = 4868.32738711121m²